SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2025 DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (TINGKAT KOTA/KABUPATEN PART D)

Diketahui 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan bulat positif dengan:

𝑝 − 1 = (𝑘² − 4𝑘 − 3)² dan 𝑞 − 1 = (𝑘² − 4𝑘 − 5)²

Jika 𝑝𝑞 adalah bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin bagi 𝑝² + 𝑞² adalah ....

(Pilihan Ganda)

A. 10

B. 26

C. 122

D. 1370

Alternatif Penyelesaian:

Karena 𝑝𝑞 prima dan 𝑝, 𝑞 bilangan bulat positif maka pasangan (𝑝, 𝑞) yang memenuhi adalah (1, prima), dan (prima, 1).

✅Jika 𝑝 = 1, maka

1 − 1 = (𝑘² − 4𝑘 − 3)²

⇔ 0 = (𝑘² − 4𝑘 − 3)²

⇔ 0 = 𝑘² − 4𝑘 − 3

⇔ 𝑘² − 4𝑘 − 3 = 0

Diperoleh

𝑞 − 1 = (𝑘² − 4𝑘 − 5)²

⇔ 𝑞 − 1 + 1 = (𝑘² − 4𝑘 − 5)² + 1

⇔ 𝑞 = (𝑘² − 4𝑘 − 5)² + 1

⇔ 𝑞 = ((𝑘² − 4𝑘 − 3) − 2)² + 1

⇔ 𝑞 = (0 − 2)² + 1

⇔ 𝑞 = (−2)² + 1

⇔ 𝑞 = 4 + 1

⇔ 𝑞 = 5.

Jika 𝑝 = 1, maka 𝑞 = 5.

Nilai 𝑝² + 𝑞²

= 1² + 5²

= 1 + 25

= 26

✅Jika 𝑞 = 1, maka

1 − 1 = (𝑘² − 4𝑘 − 5)²

⇔ 0 = (𝑘² − 4𝑘 − 5)²

⇔ 0 = 𝑘² − 4𝑘 − 5

⇔ 𝑘² − 4𝑘 − 5 = 0

Diperoleh

𝑝 − 1 = (𝑘² − 4𝑘 − 3)²

⇔ 𝑝 − 1 + 1 = (𝑘² − 4𝑘 − 3)² + 1

⇔ 𝑝 = (𝑘² − 4𝑘 − 3)² + 1

⇔ 𝑝 = ((𝑘² − 4𝑘 − 5) + 2)² + 1

⇔ 𝑝 = (0 + 2)² + 1

⇔ 𝑝 = 2² + 1

⇔ 𝑝 = 4 + 1

⇔ 𝑝 = 5.

Jika 𝑞 = 1, maka 𝑝 = 5.

Nilai 𝑝² + 𝑞²

= 5² + 1²

= 25 + 1

= 26

Jadi, jika 𝑝𝑞 adalah bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin bagi 𝑝² + 𝑞² adalah 26.

(Pilihan jawaban B benar).