SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2025 DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (TINGKAT KOTA/KABUPATEN PART B)

Jajargenjang ABCD memiliki keliling 106 cm dengan ukuran panjang sisi AB = (3𝑥 + 1) cm dan BC = (5𝑥 − 20) cm. Titik E pada sisi AB sehingga DE tegak lurus AB. Titik F dan H pada ruas garis CE. Titik K pada sisi AB sehingga FK sejajar DE. Titik G berada di dalam segitiga ECD sehingga garis GF tegak lurus GH dan GF sejajar DE.

Jika ukuran panjang DE = (3𝑥 − 7) cm, HC = 2 × EF, dan FK = 5 cm, maka luas daerah bangun datar berwarna merah adalah ….

(Pilihan Ganda)

A. 122,5 cm²

B. 185 cm²

 C. 262,5 cm²

D. 280 cm²

Alternatif Penyelesaian:

Perhatikan gambar berikut.

ABCD jajargenjang, sehingga

AB = CD = 3𝑥 + 1

AD = BC = 5𝑥 − 20

Keliling ABCD = 106

⇔ AB + BC + CD + AD = 106

⇔ 3𝑥 + 1 + 5𝑥 − 20 + 3𝑥 + 1 + 5𝑥 − 20 = 106

⇔ 2(3𝑥 + 1 + 5𝑥 − 20) = 106

⇔ 2(3𝑥 + 5𝑥 + 1 − 20) = 106

⇔ 2(8𝑥 − 19) = 106

⇔ 2(8𝑥 − 19) : 2 = 106 : 2

⇔ 8𝑥 − 19 = 53

⇔ 8𝑥 − 19 + 19 = 53 + 19

⇔ 8𝑥 = 72

⇔ 8𝑥 : 8 = 72 : 8

⇔ 𝑥 = 9

Jika 𝑥 = 9, maka

Ukuran panjang AB = CD = (3 × 9 + 1) cm = (27 + 1) cm = 28 cm.

Ukuran panjang AD = BC = (5 × 9 − 20) cm = (45 − 20) cm = 25 cm.

Ukuran panjang DE = (3𝑥 − 7) cm = (3 × 9 − 7) cm = 20 cm.

DE tegak lurus AB, sehingga ∆ADE adalah segitiga siku-siku.

Dengan rumus Pythagoras,

AE² = AD² − DE²

⇔ AE² = 25² − 20²

⇔ AE² = 625 − 400

⇔ AE² = 225

⇔ AE = 15 atau AE = −15

Karena AE adalah ukuran panjang ruas garis, sehingga AE tidak mungkin bernilai negatif.

AE = 15 cm.

Sehingga,

BE = AB − AE

⇔ BE = 28 cm − 15 cm

⇔ BE = 13 cm.

Misalkan L pada DC sehingga HL tegak lurus DC, akibatnya ∆EFK sebangun dengan ∆FGH dan juga sebangun dengan ∆CHL.

Karena ∆EFK sebangun dengan ∆CHL dan HC = 2 × EF,

sehingga berlaku

LH : FK = HC : EF

⇔ LH : 5 = 2 : 1

⇔ LH = 10

LH = 10 cm.

FG = DE − LH − FK

⇔ FG = 20 − 10 − 5

⇔ FG = 5

FG = 5 cm.

GF sejajar DE dan GF tegak lurus GH serta ED tegak lurus DC, sehingga ∆GFH sebangun dengan ∆DEC, berlaku

Luas ∆GFH : Luas ∆DEC= FG² : DE²

⇔ Luas ∆GFH : Luas ∆DEC= 5² : 20²

⇔ Luas ∆GFH : Luas ∆DEC= 25 : 400

⇔ Luas ∆GFH : Luas ∆DEC= 1 : 16

Luas ∆DEC

= (28 × 20) : 2

= 560 : 2

= 280

Luas ∆DEC = 280 cm²

Luas merah

  

  

  

  

  

 

    = 262,5

Jadi, luas daerah bangun datar berwarna merah adalah 262,5 cm².

(Pilihan jawaban C benar).