SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 14)

Matematika  ·  SMA/MA/Sederajat

Suku Banyak & Teorema Vieta

Soal

Diberikan suku banyak \(P(x) = x^3 + Dx^2 + Ex + 1\) dengan \(P(-1) = 3\).
Jika \(a,\, b,\, c\) merupakan akar-akar dari \(P(x) = 0\) dan memenuhi

---

\[(a^2 - bc)(b^2 - ca)(c^2 - ab) = 45\] maka \((D + E)^2 = \ldots\)

Alternatif Penyelesaian

1 Gunakan kondisi \(P(-1) = 3\)

Substitusi \(x = -1\) ke \(P(x)\):

\[P(-1) = (-1)^3 + D(-1)^2 + E(-1) + 1 = 3\]

\[-1 + D - E + 1 = 3\]

\[D - E = 3 \qquad \cdots\,(1)\]

2 Gunakan Teorema Vieta

Karena \(a,\, b,\, c\) adalah akar-akar dari \(P(x) = x^3 + Dx^2 + Ex + 1\), berlaku:

Relasi Vieta	Nilai
\(a + b + c\)	\(= -D\)
\(ab + bc + ca\)	\(= E\)
\(abc\)	\(= -1\)

3 Sederhanakan \((a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)\)

✦ Trik Kunci

Karena \(abc = -1\), maka \(\dfrac{1}{a} = -bc\), sehingga: \[a^2 - bc \;=\; a^2 + \frac{1}{a} \;=\; \frac{a^3 + 1}{a}\]

Dengan cara yang sama berlaku untuk \(b\) dan \(c\):

\[b^2 - ca = \frac{b^3+1}{b}, \qquad c^2 - ab = \frac{c^3+1}{c}\]

Sehingga hasil kali ketiganya:

\[(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab) = \frac{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}{abc}\]

Karena \(abc = -1\):

\[(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab) = -(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\]

4 Sederhanakan \((a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\)

Karena \(a\) adalah akar dari \(P(x) = 0\), berlaku:

\[a^3 + Da^2 + Ea + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; a^3 + 1 = -Da^2 - Ea = -a(Da + E)\]

Demikian pula untuk \(b\) dan \(c\):

\[b^3 + 1 = -b(Db + E), \qquad c^3 + 1 = -c(Dc + E)\]

Sehingga,

\[(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1) = (-a)(Da+E)\cdot(-b)(Db+E)\cdot(-c)(Dc+E)\]

\[= \;-abc\cdot(Da+E)(Db+E)(Dc+E)\]

Karena \(-abc = -(-1) = 1\):

\[(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1) = (Da+E)(Db+E)(Dc+E)\]

5 Hitung \((Da+E)(Db+E)(Dc+E)\)

Ekspansi hasil kali ini menggunakan Teorema Vieta:

\[(Da+E)(Db+E)(Dc+E) = D^3 abc + D^2 E(ab+bc+ca) + DE^2(a+b+c) + E^3\]

Substitusi nilai-nilai Vieta \((abc=-1,\; ab+bc+ca=E,\; a+b+c=-D)\):

\[= D^3(-1) + D^2E(E) + DE^2(-D) + E^3\]

\[= -D^3 + D^2E^2 - D^2E^2 + E^3\]

\[(Da+E)(Db+E)(Dc+E) = E^3 - D^3\]

6 Gabungkan semua hasil

Dari Langkah 3, 4, dan 5:

\[(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab) = -(E^3 - D^3) = D^3 - E^3\]

Diketahui nilainya \(= 45\):

\[D^3 - E^3 = 45\]

Gunakan faktorisasi selisih kubik:

\[(D-E)(D^2+DE+E^2) = 45\]

Dari persamaan (1), \(D - E = 3\):

\[3(D^2+DE+E^2) = 45\]

\[D^2 + DE + E^2 = 15 \qquad \cdots\,(2)\]

7 Tentukan \((D+E)^2\)

Misalkan \(S = (D+E)^2\). Gunakan dua hubungan berikut:

Hubungan I: Dari \(D - E = 3\) dikuadratkan: \[(D-E)^2 = D^2 - 2DE + E^2 = 9\]
Hubungan II: Dari persamaan (2): \[D^2 + DE + E^2 = 15\]

Dari persamaan (2): \(D^2 + E^2 = 15 - DE\)
Dari Hubungan I: \(D^2 + E^2 = 9 + 2DE\)

Samakan keduanya:

\[15 - DE = 9 + 2DE\]

\[6 = 3DE \;\Longrightarrow\; DE = 2\]

Sekarang:

\[(D+E)^2 = D^2 + 2DE + E^2 = (9 + 2DE) + 2DE = 9 + 4DE\]

\[(D+E)^2 = 9 + 4(2) = 9 + 8 = 17\]

Jawaban Akhir

\((D + E)^2 = \mathbf{17}\)

OSK SMA MA 2024  ·  Matematika  ·  Suku Banyak & Teorema Vieta