SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 12)

OSK
SMA MA
2024

Matematika

Soal & Alternatif Penyelesaian

Soal

Banyaknya himpunan bagian $A$ dari $\{24,\,25,\,26,\,\ldots,\,35\}$ sehingga hasil penjumlahan unsur terbesar dan terkecil dari $A$ sama dengan $59$ adalah ….

---

Alternatif Penyelesaian

1

Memahami Masalah

Himpunan semesta yang digunakan adalah $$S = \{24,\;25,\;26,\;27,\;28,\;29,\;30,\;31,\;32,\;33,\;34,\;35\}$$ yang memiliki $12$ anggota. Kita perlu mencari semua himpunan bagian $A \subseteq S$ sedemikian sehingga:

$$\text{unsur terbesar}(A) + \text{unsur terkecil}(A) = 59$$

Catatan: Himpunan bagian $A$ harus memiliki setidaknya satu unsur. Jika $A$ hanya memiliki tepat satu unsur, maka unsur terbesar = unsur terkecil = $x$, sehingga $2x = 59$, yang tidak memiliki solusi bilangan bulat. Jadi $A$ minimal memiliki dua unsur.

2

Menentukan Semua Pasangan (Terkecil, Terbesar)

Misalkan unsur terkecil $A$ adalah $a$ dan unsur terbesar $A$ adalah $b$, dengan syarat $a < b$ dan keduanya anggota $S$. Maka harus berlaku:

$$a + b = 59 \implies b = 59 - a$$

Karena $a,\,b \in \{24, 25, \ldots, 35\}$ dan $a < b$, berikut semua pasangan yang memenuhi:

$a$ (terkecil)	$b = 59 - a$ (terbesar)	Apakah $b \in S$?	Apakah $a < b$?	Valid?
$24$	$35$	✓	$24 < 35$ ✓	✔
$25$	$34$	✓	$25 < 34$ ✓	✔
$26$	$33$	✓	$26 < 33$ ✓	✔
$27$	$32$	✓	$27 < 32$ ✓	✔
$28$	$31$	✓	$28 < 31$ ✓	✔
$29$	$30$	✓	$29 < 30$ ✓	✔
$30$	$29$	✓	$30 > 29$ ✗	✘

Terdapat tepat 6 pasangan valid $(a, b)$.

3

Menghitung Banyak Himpunan $A$ untuk Setiap Pasangan

Setelah pasangan $(a, b)$ dipilih dan dipastikan sebagai unsur terkecil dan terbesar, unsur-unsur di tengah (yaitu bilangan bulat dari $a+1$ sampai $b-1$ yang ada di $S$) boleh masuk atau tidak masuk ke dalam $A$ secara bebas, asalkan tidak ada unsur yang lebih kecil dari $a$ atau lebih besar dari $b$ yang masuk.

Banyaknya unsur tengah untuk pasangan $(a, b)$ adalah:

$$n_{\text{tengah}} = (b-1) - (a+1) + 1 = b - a - 1$$

Karena setiap unsur tengah punya 2 pilihan (masuk atau tidak masuk), banyak himpunan $A$ untuk pasangan $(a, b)$ adalah $2^{b-a-1}$.

Pasangan $(a,\,b)$	Unsur Tengah yang Tersedia	$n_{\text{tengah}}$	Banyak Himpunan $A$
$(24,\;35)$	$\{25,26,27,28,29,30,31,32,33,34\}$	$10$	$2^{10} = 1024$
$(25,\;34)$	$\{26,27,28,29,30,31,32,33\}$	$8$	$2^{8} = 256$
$(26,\;33)$	$\{27,28,29,30,31,32\}$	$6$	$2^{6} = 64$
$(27,\;32)$	$\{28,29,30,31\}$	$4$	$2^{4} = 16$
$(28,\;31)$	$\{29,\;30\}$	$2$	$2^{2} = 4$
$(29,\;30)$	(tidak ada)	$0$	$2^{0} = 1$
Total			$1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1$

4

Menjumlahkan Semua Kemungkinan

$$\text{Total} = 1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1 = \boxed{1365}$$

💡

Cara Cepat – Deret Geometri

Perhatikan bahwa $1,\;4,\;16,\;64,\;256,\;1024$ adalah deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 1$, rasio $r = 4$, dan banyak suku $n = 6$. Dengan rumus jumlah deret geometri:

$$S_6 = \frac{a_1\,(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1 \cdot (4^6 - 1)}{4 - 1} = \frac{4096 - 1}{3} = \frac{4095}{3} = 1365$$

Cara ini sangat berguna agar murid tidak perlu menjumlahkan satu per satu di bawah tekanan waktu ujian.

Jawaban

1.365

Banyaknya himpunan bagian $A$ dari $\{24, 25, \ldots, 35\}$ sehingga hasil penjumlahan unsur terbesar dan terkecil dari $A$ sama dengan $59$ adalah 1.365 himpunan.