SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 13)

OSK SMP MTs 2024

Sistem Persamaan
Bilangan Real Positif

Olimpiade Sains Kota/Kabupaten — Jenjang SMP/MTs

📋

Soal

Diketahui sistem persamaan sebagai berikut dengan \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah bilangan real positif.

\( a = bc \)

\( b = c(a + 2) \)

\( c = b(a - 2) \)

Nilai dari \(a^2 + b^2 + c^2\) adalah …

A

\(15\)

B

\(15 - 4\sqrt{5}\)

C

\(225\)

D

\(15 + 4\sqrt{5}\)

✏️

Alternatif Penyelesaian

1

Kalikan Persamaan Kedua dan Ketiga

Dari soal, kita punya dua persamaan:

\( b = c(a+2) \quad \cdots (2) \)

\( c = b(a-2) \quad \cdots (3) \)

Kalikan ruas kiri dengan ruas kiri, dan ruas kanan dengan ruas kanan:

\( b \times c = c(a+2) \times b(a-2) \)

\( bc = bc \cdot (a+2)(a-2) \)

Karena \(a, b, c\) adalah bilangan positif, maka \(bc \neq 0\). Bagi kedua ruas dengan \(bc\):

\( 1 = (a+2)(a-2) \)

\( 1 = a^2 - 4 \)

\( a^2 = 5 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{a = \sqrt{5}} \)

💡 Kita ambil \(a = \sqrt{5}\) (bukan \(-\sqrt{5}\)) karena soal menyatakan \(a\) adalah bilangan real positif.

2

Cari Nilai \(c^2\)

Dari persamaan (3):  \(c = b(a-2)\). Substitusikan ke persamaan (2):

\( b = c(a+2) = b(a-2)(a+2) \)

Ini konsisten dengan \(a^2 = 5\) ✔. Sekarang kita gunakan persamaan (1):

\( a = bc \quad \Rightarrow \quad bc = \sqrt{5} \quad \cdots (*) \)

Dari persamaan (2):  \(b = c(\sqrt{5}+2)\). Substitusikan ke \((*)\):

\( c\!\left(\sqrt{5}+2\right) \cdot c = \sqrt{5} \)

\( c^2(\sqrt{5}+2) = \sqrt{5} \)

\( c^2 = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2} \)

Rasionalkan penyebut (kalikan dengan \(\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}\)):

\( c^2 = \dfrac{\sqrt{5}\,(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \dfrac{5 - 2\sqrt{5}}{5 - 4} = 5 - 2\sqrt{5} \)

3

Cari Nilai \(b^2\)

Dengan cara yang sama, dari \(b = c(\sqrt{5}+2)\) dan \(bc = \sqrt{5}\):

\( b \cdot \dfrac{b}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad b^2 = \sqrt{5}(\sqrt{5}+2) = 5 + 2\sqrt{5} \)

4

Hitung \(a^2 + b^2 + c^2\)

Kita sudah punya ketiga nilai:

\( a^2 = 5, \quad b^2 = 5 + 2\sqrt{5}, \quad c^2 = 5 - 2\sqrt{5} \)

Jumlahkan ketiganya:

\( a^2 + b^2 + c^2 = 5 + \!\left(5 + 2\sqrt{5}\right) + \!\left(5 - 2\sqrt{5}\right) \)

\( = 5 + 5 + 5 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \)

\( = 15 \)

🎯 Perhatikan bahwa suku \(+2\sqrt{5}\) dan \(-2\sqrt{5}\) saling menghilangkan, sehingga hasilnya adalah bilangan bulat yang rapi!

✅

Jawaban

A. \(a^2 + b^2 + c^2 = 15\)