SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 9)

OSK · SMP MTs · 2024

Soal Pilihan Ganda

Pertidaksamaan Akar Kuadrat

Diketahui pertidaksamaan

$$\sqrt{x-3} + \sqrt{6-x} \geq p$$

memiliki penyelesaian untuk $x \in \mathbb{R}$.

Nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah …

A. $\sqrt{6}$

B. $3$

C. $\sqrt{6} + \sqrt{3}$

D. $6$

Alternatif Penyelesaian

Langkah demi langkah

1

Tentukan nilai $x$ yang boleh dipakai

Karena ada tanda akar kuadrat ($\sqrt{\phantom{x}}$), nilai yang ada di dalam akar tidak boleh negatif (tidak boleh kurang dari nol). Jadi, kita perlu memenuhi dua syarat berikut secara bersamaan.

Syarat	Penyelesaian
$x - 3 \geq 0$	$x \geq 3$
$6 - x \geq 0$	$x \leq 6$

Kesimpulannya, $x$ hanya boleh bernilai, yaitu: $$3 \leq x \leq 6$$

---

2

Pahami maksud soal

Agar pertidaksamaan $\sqrt{x-3} + \sqrt{6-x} \geq p$ punya solusi, artinya harus ada minimal satu nilai $x$ (dalam rentang $3 \leq x \leq 6$) yang membuat ruas kiri lebih besar dari atau sama dengan $p$.

Ide kunci: Supaya $p$ bisa sebesar mungkin, kita cari nilai maksimum dari fungsi: $$f(x) = \sqrt{x-3} + \sqrt{6-x}$$ Nilai maksimum itulah nilai $p$ terbesar yang diizinkan.

---

3

Kuadratkan $f(x)$ untuk mencari maksimumnya

Misalkan $f(x) = \sqrt{x-3} + \sqrt{6-x}$. Kita kuadratkan kedua ruas: $$\bigl[f(x)\bigr]^2 = \Bigl(\sqrt{x-3} + \sqrt{6-x}\Bigr)^2$$ Ingat rumus $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, maka: $$= (x-3) + 2\sqrt{(x-3)(6-x)} + (6-x)$$ $$= 3 + 2\sqrt{(x-3)(6-x)}$$ Agar $[f(x)]^2$ maksimum, kita perlu memaksimalkan nilai dari $\sqrt{(x-3)(6-x)}$.

---

4

Maksimalkan hasil kali $(x-3)(6-x)$

Misalkan $a = x - 3$ dan $b = 6 - x$, maka: $$a + b = (x - 3) + (6 - x) = 3$$

Sifat penting: Jika jumlah dua bilangan positif sudah tetap (dalam hal ini $a + b = 3$), maka hasil kalinya paling besar ketika kedua bilangan tersebut sama besar.

Karena $a + b = 3$, nilai $a \cdot b$ paling besar saat $a = b = \dfrac{3}{2}$. Sehingga nilai maksimum $a \cdot b$ adalah: $$a \cdot b = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$$

---

5

Hitung nilai maksimum $f(x)$

Substitusikan nilai maksimum $a \cdot b = \dfrac{9}{4}$ ke rumus yang sudah kita dapatkan: $$\bigl[f(x)\bigr]^2_{\text{maks}} = 3 + 2\sqrt{\frac{9}{4}} = 3 + 2 \times \frac{3}{2} = 3 + 3 = 6$$ Karena $[f(x)]^2_{\text{maks}} = 6$, maka: $$f(x)_{\text{maks}} = \sqrt{6}$$ Nilai ini tercapai saat $a = b = \dfrac{3}{2}$, yaitu saat $x - 3 = \dfrac{3}{2}$, sehingga $x = 4{,}5$ (masih dalam rentang $3 \leq x \leq 6$, valid ✓).

---

6

Kesimpulan

Nilai maksimum dari $\sqrt{x-3} + \sqrt{6-x}$ adalah $\sqrt{6}$. Agar pertidaksamaan memiliki penyelesaian, syaratnya adalah: $$p \leq \sqrt{6}$$ Dengan demikian, nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah $\sqrt{6}$.

✅

Jawaban

A.   $p_{\text{maks}} = \sqrt{6}$

OSK SMP MTs 2024  ·  Matematika  ·  Pertidaksamaan Akar Kuadrat