SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 3)

OSK SMP MTs · MATEMATIKA · 2024

📋

Soal Pilihan Ganda

Bilangan-bilangan 4, 5, 6, 9, 11, 12, 18, 20, dan 24 akan diletakkan pada 4 lingkaran dan 5 persegi yang disusun dalam satu baris sebagai berikut.

Setiap bilangan harus digunakan tepat satu kali dan diletakkan di tempat yang berbeda. Selain itu, bilangan pada setiap lingkaran harus merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan pada persegi yang berada tepat di sebelah kiri dan kanannya.

Jika x adalah bilangan pada persegi paling kiri dan y adalah bilangan pada persegi paling kanan, maka nilai terbesar yang mungkin dari x + y adalah ....

• A. 32 ✔ Jawaban Benar
• B. 38
• C. 42
• D. 44

💡

Alternatif Penyelesaian

1. Memahami Struktur Soal

Beri nama setiap posisi agar mudah dirujuk. Lima persegi dilambangkan P₁ s.d. P₅, dan empat lingkaran dilambangkan L₁ s.d. L₄.

P₁

persegi

→

L₁

lingkaran

←

P₂

persegi

→

L₂

lingkaran

←

P₃

persegi

→

L₃

lingkaran

←

P₄

persegi

→

L₄

lingkaran

←

P₅

persegi

• L₁ = P₁ + P₂
• L₂ = P₂ + P₃
• L₃ = P₃ + P₄
• L₄ = P₄ + P₅
• Semua bilangan {4, 5, 6, 9, 11, 12, 18, 20, 24} dipakai tepat satu kali.

2. Strategi Utama

Kita ingin x + y = P₁ + P₅ sebesar mungkin. Mulailah mencoba dari nilai terbesar yang tersedia, yaitu 24, 20, 18. Perlu diingat: nilai lingkaran pasti lebih besar dari masing-masing persegi di sampingnya, sehingga bilangan yang diletakkan di persegi ujung tidak boleh terlalu besar.

3. Percobaan Sistematis

Percobaan 1 — P₁ = 24, P₅ = 20  →  x + y = 44

L₁ = P₁ + P₂ = 24 + P₂. Agar L₁ ada dalam daftar sisa bilangan, dibutuhkan 24 + P₂ ≤ 20, ini tidak mungkin karena 24 saja sudah lebih besar dari bilangan terbesar yang tersisa. ❌

Demikian pula untuk P₁ = 20, P₅ = 24 (L₄ = P₄ + 24 tidak mungkin). ❌

Percobaan 2 — P₁ = 24, P₅ = 18  →  x + y = 42

Sisa bilangan: {4, 5, 6, 9, 11, 12, 20}. Nilai terbesar di sisa = 20. L₁ = 24 + P₂, maka dibutuhkan 24 + P₂ = 20 → mustahil. ❌

Begitu pula P₁ = 18, P₅ = 24: L₄ = P₄ + 24 melebihi semua sisa bilangan. ❌

Percobaan 3 — P₁ = 20, P₅ = 18  →  x + y = 38

Sisa bilangan: {4, 5, 6, 9, 11, 12, 24}.

L₁ = 20 + P₂ harus ada di sisa. Satu-satunya kemungkinan: P₂ = 4, sehingga L₁ = 24.

Sisa setelah P₂ = 4 dan L₁ = 24: {5, 6, 9, 11, 12}.

L₂ = 4 + P₃ harus ada di sisa. Pilihan satu-satunya: P₃ = 5, L₂ = 9.

Sisa: {6, 11, 12}.

L₃ = 5 + P₄ harus ada di sisa. Pilihan: P₄ = 6, L₃ = 11. Sisa: {12}.

L₄ = P₄ + P₅ = 6 + 18 = 24 — tetapi 24 sudah dipakai untuk L₁! ❌

Tidak ada kombinasi lain yang berhasil untuk P₁=20, P₅=18. ❌

Percobaan 4 — P₁ = 18, P₅ = 20  →  x + y = 38

Sisa bilangan: {4, 5, 6, 9, 11, 12, 24}.

L₄ = P₄ + 20 harus ada di sisa. Satu-satunya kemungkinan: P₄ = 4, L₄ = 24.

Sisa setelah P₄=4 dan L₄=24: {5, 6, 9, 11, 12}.

L₃ = P₃ + 4, pilihan: P₃ = 5, L₃ = 9. Sisa: {6, 11, 12}.

L₂ = P₂ + 5, pilihan: P₂ = 6, L₂ = 11. Sisa: {12}.

L₁ = P₁ + P₂ = 18 + 6 = 24 — 24 sudah terpakai! ❌

Tidak ada kombinasi lain yang berhasil. ❌

Percobaan 5 — P₁ = 12, P₅ = 20  →  x + y = 32  ✔

Sisa bilangan: {4, 5, 6, 9, 11, 18, 24}.

Susun langkah demi langkah:

Langkah	Posisi	Nilai	Alasan
1	P₂ = 6	6	L₁ = 12 + 6 = 18 ✓ (ada di sisa)
2	L₁ = 18	18	Sisa: {4, 5, 9, 11, 24}
3	P₃ = 5	5	L₂ = 6 + 5 = 11 ✓ (ada di sisa)
4	L₂ = 11	11	Sisa: {4, 9, 24}
5	P₄ = 4	4	L₃ = 5 + 4 = 9 ✓ (ada di sisa)
6	L₃ = 9	9	Sisa: {24}
7	L₄ = 24	24	L₄ = 4 + 20 = 24 ✓

Semua bilangan habis terpakai tepat satu kali. ✔ BERHASIL!

4. Susunan Akhir yang Valid

12

P₁ = x

—

18

L₁

—

6

P₂

—

11

L₂

—

5

P₃

—

9

L₃

—

4

P₄

—

24

L₄

—

20

P₅ = y

5. Verifikasi

• ✔L₁ = P₁ + P₂ = 12 + 6 = 18  ✓
• ✔L₂ = P₂ + P₃ =  6 + 5 = 11  ✓
• ✔L₃ = P₃ + P₄ =  5 + 4 =  9  ✓
• ✔L₄ = P₄ + P₅ =  4 + 20 = 24  ✓
• ✔Bilangan yang digunakan: {12, 18, 6, 11, 5, 9, 4, 24, 20} = semua 9 bilangan, masing-masing tepat sekali. ✓

A

Nilai terbesar yang mungkin dari x + y adalah

x + y = P₁ + P₅ = 12 + 20 = 32

Jawaban: A. 32