SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 1)

Matematika · SMP/MTs

Soal & Alternatif Penyelesaian

📝

Soal Pilihan Ganda

---

Misalkan $N(a, b, c)$ menyatakan banyaknya kelipatan $a$ yang lebih besar dari $b$ dan kurang dari $c$.

Sebagai contoh, $N(3,\, 5,\, 10) = 2$ karena terdapat dua bilangan antara 5 dan 10 yang merupakan kelipatan 3, yaitu 6 dan 9.

Nilai dari $N(6^3,\; 6^4,\; 6^6)$ adalah ....

• A. 216
• B. 215
• C. 209 ✅
• D. 208

💡

Alternatif Penyelesaian

---

1

Tentukan nilai $6^3$, $6^4$, dan $6^6$

Pertama, hitung masing-masing nilai perpangkatan berikut:

$$6^3 = 216$$

$$6^4 = 6^3 \times 6 = 216 \times 6 = 1.296$$

$$6^6 = 6^4 \times 6^2 = 1.296 \times 36 = 46.656$$

Jadi, soal meminta kita mencari banyaknya kelipatan 216 yang nilainya lebih besar dari 1.296 dan kurang dari 46.656.

2

Cari kelipatan 216 pertama yang lebih besar dari 1.296

Bagi batas bawah (1.296) dengan 216 untuk melihat posisinya:

$$1.296 \div 216 = 6$$

Hasilnya tepat 6, artinya $1.296 = 216 \times 6$ sehingga 1.296 adalah kelipatan 216. Karena soal mengharuskan bilangan yang lebih besar dari 1.296, kelipatan pertama yang memenuhi syarat adalah:

$$216 \times 7 = 1.512$$

3

Cari kelipatan 216 terakhir yang kurang dari 46.656

Bagi batas atas (46.656) dengan 216:

$$46.656 \div 216 = 216$$

Hasilnya tepat 216, artinya $46.656 = 216 \times 216$ sehingga 46.656 adalah kelipatan 216. Karena soal mengharuskan bilangan yang kurang dari 46.656, kelipatan terakhir yang memenuhi syarat adalah:

$$216 \times 215 = 46.440$$

4

Hitung banyaknya kelipatan yang memenuhi syarat

Kelipatan-kelipatan yang memenuhi syarat adalah:

$$216 \times 7,\quad 216 \times 8,\quad \ldots,\quad 216 \times 215$$

Banyaknya suku dalam barisan tersebut dihitung dengan rumus:

$$\text{Banyaknya kelipatan} = 215 - 7 + 1 = 215 - 6 = \mathbf{209}$$

Cara mudah mengingat rumus ini: Jika kita memiliki barisan dari bilangan ke-$m$ sampai bilangan ke-$n$, banyaknya suku = $n - m + 1$. Di sini $m = 7$ dan $n = 215$.

✅

Jawaban: C. 209

Matematika SMP/MTs · Soal Olimpiade Sains Nasional (OSN) Tingkat Kota 2024