SOAL OSN TINGKAT PROVINSI 2025 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART 2)

🔥 DUA SOAL "MEMATIKAN" YANG BIKIN MURID SMP/MTs MIKIR DUA KALI: SUDUT SEGITIGA & SKOR GIM PERPANGKATAN 2!

Kali ini kita akan membedah dua soal dan alternatif penyelesaian penuh logika: satu soal barisan aritmatika sudut segitiga dan satu lagi soal perpangkatan 2 dari skor sebuah gim. Yuk kita selesaikan langkah demi langkah dengan cara yang paling mudah dipahami murid jenjang SMP/MTs sederajat!

📐 SOAL NOMOR 1 — BARISAN ARITMATIKA SUDUT SEGITIGA

Stimulus:
Besar sembilan sudut dalam tiga segitiga adalah n₁°, n₂°, …, n₉°, dengan n₁, n₂, …, n₉ bilangan bulat positif yang membentuk barisan aritmatika dengan beda positif.

Pertanyaan:
Jika besar salah satu sudut adalah 78°, maka jumlah semua nilai n₁ yang mungkin adalah ….

✅ Alternatif Penyelesaian Soal 1

Langkah 1 — Menentukan jumlah total sembilan sudut.
Karena ada tiga segitiga dan setiap segitiga memiliki jumlah sudut 180°, sehingga jumlah seluruh sembilan sudut adalah:
3 × 180° = 540°

Langkah 2 — Menyatakan jumlah barisan aritmatika.
Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama n₁ dan beda b, jumlah 9 suku pertama adalah:
n₁ + n₂ + … + n₉
= n₁ + n₁ + b + … + n₁ + 8b
= 9n₁ + (0 + 1 + 2 + … + 8)b
= 9n₁ + 36b
Karena jumlahnya harus 540°, sehingga:
9n₁ + 36b = 540
n₁ + 4b = 60   →   n₁ = 60 − 4b

Langkah 3 — Menggunakan syarat "salah satu sudut adalah 78°".
Suku ke-(k + 1) dari barisan ini adalah n₁ + kb, dengan k = 0, 1, 2, …, 8. Salah satu suku ini harus sama dengan 78, sehingga:
n₁ + kb = 78
(60 − 4b) + kb = 78
b(k − 4) = 18

Langkah 4 — Mencari nilai b yang memenuhi (b harus bilangan bulat positif, dan k − 4 harus bernilai positif agar b positif).

k	k − 4	b = 18/(k−4)	Keterangan
5	1	18	n1 = 60−72 = −12 (ditolak, harus positif)
6	2	9	n1 = 60−36 = 24 (diterima)
7	3	6	n1 = 60−24 = 36 (diterima)
8	4	4,5	ditolak (b harus bilangan bulat)

Langkah 5 — Memastikan kedua nilai n₁ benar-benar bisa dibagi menjadi tiga segitiga (masing-masing berjumlah 180°).
Untuk b = 9, n₁ = 24: sudut-sudutnya adalah 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96. Ketiganya dapat dikelompokkan menjadi:
(24 + 60 + 96) = 180, (33 + 69 + 78) = 180, (42 + 51 + 87) = 180. ✔️ Terbukti valid, dan memuat sudut 78°.

Untuk b = 6, n₁ = 36: sudut-sudutnya adalah 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84. Ketiganya dapat dikelompokkan menjadi:
(36 + 60 + 84) = 180, (42 + 66 + 72) = 180, (48 + 54 + 78) = 180. ✔️ Terbukti valid, dan memuat sudut 78°.

Jumlah semua nilai n₁ yang mungkin = 24 + 36 = 60

🎮 SOAL NOMOR 2 — SKOR GIM DALAM BENTUK PERPANGKATAN 2

Stimulus:
Tiga orang, yaitu Ali, Budi, dan Cika sedang bermain gim. Di akhir permainan, layar menampilkan total skor 6208 poin, yang merupakan jumlah dari tiga skor berbeda milik mereka. Masing-masing skor dapat dinyatakan dalam bentuk perpangkatan 2 dengan pangkat bilangan bulat positif.

Pertanyaan:
Jika setiap skor mereka dinyatakan dalam bentuk tersebut, maka jumlah pangkat dari ketiga skor mereka adalah ….

✅ Alternatif Penyelesaian Soal 2

Langkah 1 — Memahami maksud soal.
Skor Ali, Budi, dan Cika berbeda satu sama lain, dan masing-masing berbentuk 2 pangkat bilangan bulat positif (2¹, 2², 2³, dan seterusnya). Karena jumlah tiga bilangan berbeda berbentuk 2ᵏ adalah 6208, kita cukup mengubah 6208 menjadi jumlah tiga pangkat 2 yang berbeda.

Langkah 2 — Mencari pangkat 2 terbesar yang tidak melebihi 6208.
2¹² = 4096 (karena 2¹³ = 8192 sudah melebihi 6208)
6208 − 4096 = 2112

Langkah 3 — Mengulangi cara yang sama untuk sisa 2112.
2¹¹ = 2048 (karena 2¹² sudah dipakai dan terlalu besar)
2112 − 2048 = 64

Langkah 4 — Menyelesaikan sisa terakhir.
64 = 2⁶ (persis habis, tanpa sisa)

Langkah 5 — Menyusun hasil dan memverifikasi.
6208 = 2¹² + 2¹¹ + 2⁶ = 4096 + 2048 + 64 = 6208 ✔️ (terbukti benar, dan ketiga pangkatnya berbeda: 12, 11, 6 — sesuai syarat "skor berbeda")

Langkah 6 — Menjumlahkan ketiga pangkat.
12 + 11 + 6 = 29

Jumlah pangkat ketiga skor = 12 + 11 + 6 = 29

Nah, itulah dua Alternatif Penyelesaian yang bisa murid pahami dengan logika sederhana: pola jumlah sudut segitiga dan representasi biner sebuah bilangan. Selamat berlatih, dan jangan lupa mampir lagi ke miftahmath.com untuk soal-soal seru lainnya! 🚀