SOAL OSN TINGKAT PROVINSI 2025 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 1)

Olimpiade Matematika · SMP/MTs

Temukan Bilangan Empat Digit Misterius dengan 4 Syarat Tersembunyi!

Soal Olimpiade

Suatu bilangan bulat positif empat digit memiliki keempat sifat berikut.

a

Kurang dari 2025

b

Jumlah keempat digitnya sama dengan 24

c

Jumlah digit ribuan dan ratusan sama dengan jumlah dua digit lainnya dikurangi 4

d

Memiliki tepat tiga faktor prima berbeda yang jumlahnya kurang dari 100

Bilangan tersebut adalah ….

1

Misalkan bilangan = abcd

Kita tulis bilangan empat digit itu sebagai abcd, di mana a = digit ribuan, b = digit ratusan, c = digit puluhan, dan d = digit satuan. Kita akan gunakan keempat syarat satu per satu untuk menyempitkan kemungkinan.

2

Gunakan Syarat (b) dan (c) Bersama

Dari syarat (b), jumlah semua digit sama dengan 24:

(a + b) + (c + d) = 24   …(1)

Dari syarat (c), jumlah digit ribuan dan ratusan sama dengan jumlah dua digit lainnya dikurangi 4:

(a + b) = (c + d) − 4   …(2)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1):

[(c + d) − 4] + (c + d) = 24
2(c + d) = 28
c + d = 14
a + b = 10

3

Tentukan Nilai a dan b dengan Syarat (a)

Kita tahu a + b = 10 dan bilangan harus kurang dari 2025. Coba kemungkinan nilai a:

Coba a = 1

Jika a = 1, maka b = 9. Bilangan berbentuk 19cd → pasti di bawah 2000. ✔ Lolos syarat (a).

Coba a = 2

Jika a = 2, maka b = 8. Bilangan berbentuk 28cd → minimal 2800, jauh di atas 2025. ✘ Gugur.

Jadi sudah pasti a = 1 dan b = 9. Bilangan berbentuk 19cd.

4

Daftar Semua Bilangan Kandidat

Dengan c + d = 14 dan setiap digit bernilai 0 sampai 9, diperoleh pasangan (c, d) berikut:

Pasangan (c, d) dengan c + d = 14

(5, 9)	→ 1959
(6, 8)	→ 1968
(7, 7)	→ 1977
(8, 6)	→ 1986
(9, 5)	→ 1995

5

Uji Syarat (d): Tepat 3 Faktor Prima, Jumlahnya < 100

Kita faktorkan setiap kandidat dan periksa banyaknya faktor prima yang berbeda.

1959

= 3 × 653  (653 adalah bilangan prima)

✘ Hanya 2 faktor prima — gugur

1968

= 2⁴ × 3 × 41  →  3 faktor prima berbeda: {2, 3, 41}
Jumlah faktor prima: 2 + 3 + 41 = 46 < 100

✔ Tepat 3 faktor prima, jumlah < 100 — LOLOS!

1977

= 3 × 659  (659 adalah bilangan prima)

✘ Hanya 2 faktor prima — gugur

1986

= 2 × 3 × 331  →  Jumlah: 2 + 3 + 331 = 336 > 100

✘ Jumlah faktor prima melebihi 100 — gugur

1995

= 3 × 5 × 7 × 19  →  Ada 4 faktor prima berbeda

✘ Bukan tepat 3 faktor prima — gugur

Jawaban

1968

✔ Kurang dari 2025  |  ✔ 1 + 9 + 6 + 8 = 24  |  ✔ (1 + 9) = (6 + 8) − 4  |  ✔ 2⁴ × 3 × 41, tiga faktor prima,
2 + 3 + 41 = 46 < 100

Kunjungi lebih banyak alternatif penyelesaian soal olimpiade di miftahmath.com