BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS IX SEMESTER GANJIL (MATERI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL)

MENGUNGKAP RAHASIA KEHIDUPAN SEHARI-HARI DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV): LEBIH DARI SEKADAR ANGKA!

Pernahkah Anda bertanya-tanya bagaimana matematika bisa membantu kita membuat keputusan cerdas dalam kehidupan sehari-hari? Dari mengelola keuangan pribadi hingga merencanakan perjalanan, bahkan memahami fenomena ilmiah, matematika selalu ada di balik layar. Salah satu alat matematika yang paling kuat dan serbaguna untuk tujuan tersebut adalah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, atau yang sering kita kenal dengan sebutan SPLDV.

Mungkin saat mendengar "persamaan linear", dahi Anda langsung berkerut. Jangan khawatir! Artikel berikut dirancang khusus untuk membawa Anda dalam perjalanan yang menyenangkan, mengungkap bagaimana SPLDV bukan hanya sekumpulan angka dan variabel, melainkan kunci untuk memahami dan menyelesaikan berbagai masalah nyata di sekitar kita. Mari kita selami lebih dalam, dan Anda akan terkejut betapa relevannya SPLDV dalam hidup Anda!

Memahami Fondasi: Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Sebelum melangkah ke "sistem", mari kita pahami dulu "Persamaan Linear Dua Variabel" (PLDV) itu sendiri. Bayangkan Anda pergi ke toko dan ingin membeli beras merah serta tepung terigu. Harga 1 kg beras merah adalah Rp20.000,00 dan 1 kg tepung terigu adalah Rp10.000,00. Anda memiliki uang Rp120.000,00 dan ingin menghabiskan semuanya untuk membeli kedua bahan tersebut.

Bagaimana Anda bisa mengetahui berapa kilogram beras merah dan tepung terigu yang bisa Anda beli? Di sinilah PLDV berperan! Jika kita misalkan berat beras merah yang dibeli adalah 'x' kg dan berat tepung terigu adalah 'y' kg, maka persamaan yang terbentuk adalah:

20.000x + 10.000y = 120.000

Persamaan tersebut adalah contoh persamaan linear dua variabel. Secara umum, PLDV dapat dinyatakan dalam bentuk

ax + by = c, di mana 'x' dan 'y' adalah variabel (dalam kasus ini, berat beras merah dan tepung terigu), dan 'a', 'b', serta 'c' adalah bilangan nyata (harga per kg dan total uang).

Menariknya, persamaan tersebut bisa memiliki banyak sekali penyelesaian, tergantung pada jenis bilangan yang kita izinkan untuk 'x' dan 'y'.

• Jika x dan y adalah bilangan cacah (0, 1, 2, ...), maka

Solusinya terbatas pada pasangan-pasangan tertentu. Misalnya, Anda bisa membeli 0 kg beras merah dan 12 kg tepung terigu, atau 6 kg beras merah dan 0 kg tepung terigu. Setiap pasangan tersebut adalah "solusi" yang sah. Jika digambarkan, maka solusi tersebut akan menjadi titik-titik diskrit pada grafik.

• Jika x dan y adalah bilangan bulat (...-1, 0, 1, ...), maka

Jumlah solusinya tak terhingga, tetapi masih bisa dihitung satu per satu. Anda bisa memiliki nilai negatif dalam teori matematika, meskipun dalam konteks belanja tersebut tidak masuk akal secara fisik.

• Jika x dan y adalah bilangan real (semua bilangan, termasuk pecahan), maka

Inilah yang paling relevan untuk masalah sehari-hari. Solusinya tak terhingga dan membentuk sebuah garis lurus yang mulus pada grafik. Hal ini berarti Anda bisa membeli 2,5 kg beras merah dan 7 kg tepung terigu, atau kombinasi lainnya yang memenuhi total harga.

Memahami PLDV adalah langkah pertama untuk melihat bagaimana matematika bisa memodelkan berbagai situasi di dunia nyata, dari harga barang hingga peregangan pegas neraca timbang.

Melangkah Lebih Jauh: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sekarang, bayangkan skenario yang sedikit lebih kompleks. Anda sedang mencari baju batik dan celana panjang. Di sebuah toko, Anda melihat dua penawaran:

• Penawaran pertama: 2 baju batik dan 3 celana panjang seharga Rp360.000,00.
• Penawaran kedua: 1 baju batik dan 4 celana panjang seharga Rp380.000,00.

Anda ingin tahu berapa harga sebenarnya untuk satu baju batik dan satu celana panjang. Di sinilah "Sistem Persamaan Linear Dua Variabel" (SPLDV) mengambil alih panggung!

SPLDV adalah gabungan dari dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang saling terkait dan memiliki penyelesaian yang sama. Dalam contoh tersebut, jika kita misalkan harga 1 baju batik adalah 'p' dan harga 1 celana panjang adalah 'q', maka kita bisa membentuk sistem persamaan berikut:

Persamaan I: 2p + 3q = 360.000

Persamaan II: p + 4q = 380.000

Tujuan kita adalah menemukan nilai 'p' dan 'q' yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan. Hal inilah yang disebut "penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel".

Memecahkan Teka-Teki: Metode Penyelesaian SPLDV

Ada beberapa metode ampuh yang bisa kita gunakan untuk menemukan penyelesaian SPLDV:

1. Metode Grafik: Melihat Solusi dalam Gambar

Metode grafik adalah cara yang sangat intuitif untuk memahami SPLDV. Kita tinggal menggambar kedua persamaan pada satu bidang koordinat. Titik di mana kedua garis tersebut berpotongan adalah penyelesaian dari sistem tersebut.

• Satu Penyelesaian

Jika kedua garis berpotongan di satu titik, maka ada tepat satu pasangan nilai (x, y) yang memenuhi kedua persamaan. Ini adalah skenario yang paling umum.

• Tidak Ada Penyelesaian

Jika kedua garis sejajar dan tidak pernah berpotongan, maka tidak ada solusi yang memenuhi kedua persamaan. Bayangkan dua jalan raya yang lurus dan tidak pernah bertemu; tidak ada persimpangan.

• Tak Hingga Penyelesaian

Jika kedua garis berimpit (saling menutupi), maka setiap titik pada garis tersebut adalah solusi. Hal ini terjadi ketika kedua persamaan sebenarnya adalah persamaan yang sama, hanya saja ditulis dalam bentuk yang berbeda.

Metode grafik sangat baik untuk visualisasi, tetapi mungkin kurang akurat jika titik potongnya bukan bilangan bulat atau sangat kecil/besar.

2. Metode Substitusi: Menggantikan untuk Menemukan

Metode substitusi adalah teknik yang lebih aljabar dan seringkali lebih presisi dibandingkan grafik. Ide utamanya adalah "mengganti" atau "mensubstitusi" salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lainnya.

Langkahnya sebagai berikut:

1. Pilih salah satu persamaan, lalu nyatakan salah satu variabel (misalnya x) dalam bentuk variabel lainnya (y).

2. Substitusikan ekspresi variabel tersebut ke persamaan yang lain. Hal ini akan menghasilkan persamaan baru dengan hanya satu variabel.

3. Selesaikan persamaan satu variabel tersebut untuk menemukan nilainya.

4. Substitusikan nilai yang ditemukan kembali ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai variabel yang lain.

Sebagai contoh, jika kita memiliki sistem:

x + y = 25 (Persamaan I)

3x + 4y = 84 (Persamaan II)

Dari Persamaan I, kita bisa ubah menjadi x = 25 – y.

Kemudian substitusikan x = 25 – y ke Persamaan II:

3(25 – y) + 4y = 84

⇔ 75 – 3y + 4y = 84

⇔ 75 + y = 84

⇔ 75 – 75 + y = 84 – 75

⇔ y = 9

Setelah mendapatkan y = 9, substitusikan kembali ke x = 25 – y:

x = 25 – 9

⇔ x = 16

Jadi, penyelesaiannya adalah (16, 9).

Metode ini sangat efisien ketika salah satu variabel sudah memiliki koefisien 1 atau -1, sehingga mudah untuk diisolasi.

3. Metode Eliminasi: Menghilangkan untuk Menyelesaikan

Metode eliminasi berfokus pada "menghilangkan" atau "mengeliminasi" salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangi kedua persamaan.

Untuk melakukannya:

1. Kalikan salah satu atau kedua persamaan dengan suatu bilangan agar koefisien salah satu variabel (misalnya x) menjadi sama atau berlawanan.

2. Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut. Hal ini akan menyisakan persamaan dengan satu variabel.

3. Selesaikan persamaan satu variabel yang tersisa.

4. Gunakan nilai yang ditemukan untuk mencari nilai variabel yang lain (bisa dengan substitusi ke salah satu persamaan awal atau eliminasi ulang untuk variabel yang berbeda).

Contoh sistem:

3x – 4y = 15 (Persamaan I)

5x + 2y = 12 (Persamaan II)

Untuk mengeliminasi 'y', kita bisa kalikan Persamaan II dengan 2:

Persamaan I: 3x – 4y = 15

Persamaan II (×2): 10x + 4y = 24

Sekarang, tambahkan kedua persamaan:

(3x – 4y) + (10x + 4y) = 15 + 24

⇔ 3x – 4y + 10x + 4y = 39

⇔ 3x + 10x – 4y + 4y = 39

⇔ 13x = 39

⇔ 13x : 13 = 39 : 13

⇔ x = 3

Untuk mengeliminasi 'x', kita bisa kalikan Persamaan I dengan 5 dan Persamaan II dengan 3:

Persamaan I (×5): 15x – 20y = 75

Persamaan II (×3): 15x + 6y = 36

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:

(15x – 20y) –  (15x + 6y) = 75 – 36

⇔ 15x – 20y – 15x –  6y = 39

⇔ 15x – 15x – 20y – 6y = 39

⇔ -26y = 39

⇔ -26y : (-26) = 39 : (-26)

⇔ y = -3/2

Penyelesaiannya adalah (3, -3/2).

Metode ini sangat berguna ketika koefisien variabel tidak mudah untuk diisolasi.

4. Metode Campuran: Kombinasi Terbaik dari Kedua Dunia

Metode campuran adalah pendekatan yang paling sering digunakan karena menggabungkan kekuatan eliminasi dan efisiensi substitusi. Biasanya, kita memulai dengan eliminasi untuk mendapatkan nilai salah satu variabel, lalu menggunakan metode substitusi untuk menemukan nilai variabel yang lain.

Misalnya, kita memiliki sistem:

3x – 11y = 21 (Persamaan I)

4x + 5y = -5 (Persamaan II)

Langkah pertama:

Eliminasi variabel 'x'.

Kalikan Persamaan I dengan 4 dan Persamaan II dengan 3:

(3x – 11y = 21) × 4 => 12x – 44y = 84

(4x + 5y = -5) × 3 => 12x + 15y = -15

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:

(12x – 44y) – (12x + 15y) = 84 – (-15)

⇔ 12x – 44y – 12x – 15y = 84 + 15

⇔ 12x – 12x – 44y – 15y = 99

⇔ -44y – 15y = 99

⇔ -59y = 99

⇔ -59y : (-59) = 99 : (-59)

⇔ y = -99/59

Langkah kedua:

Substitusikan nilai 'y' ke salah satu persamaan awal (misal Persamaan I).

⇔ 3x – 11(-99/59) = 21

⇔ 3x + 1089/59 = 21

⇔ 3x + 1089/59 – 1089/59 = 21 – 1089/59

⇔ 3x = 21 – 1089/59

⇔ 3x = 1239/59 – 1089/59

⇔ 3x = 150/59

⇔ 3x : 3 = 150/59 : 3

⇔ x = 150/59 × 1/3

⇔ x = 50/59

Penyelesaiannya adalah (50/59, -99/59).

Metode ini seringkali merupakan yang paling efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan yang lebih kompleks.

SPLDV dalam Kehidupan Nyata: Lebih dari Sekadar Teori

Mari kita lihat beberapa skenario menarik di mana SPLDV bisa menjadi penyelamat:

1. Merencanakan Perjalanan: Siapa Menyusul Siapa?

Bayangkan Putri dan Akbar sama-sama memulai perjalanan dari Yogyakarta menuju Semarang. Putri berangkat pukul 08.00 dengan kecepatan 60 km/jam. Setengah jam kemudian, Akbar berangkat dari lokasi yang sama, tetapi dengan kecepatan 80 km/jam. Kapan dan di mana Akbar akan menyusul Putri?

Hal ini adalah masalah klasik yang bisa diselesaikan dengan SPLDV. Dengan memodelkan jarak yang ditempuh masing-masing orang sebagai fungsi waktu, kita bisa menemukan titik pertemuan mereka. Persamaan jarak (jarak = kecepatan x waktu) akan menjadi fondasi dari sistem kita. Titik potong kedua grafik akan menunjukkan waktu dan lokasi mereka bertemu.

2. Mengoptimalkan Bisnis: Untung Maksimal, Biaya Minimal

Seorang pengusaha ingin membeli sepeda gunung dan sepeda balap untuk dijual kembali. Garasi tokonya hanya bisa menampung 25 sepeda. Harga satu sepeda gunung Rp1.500.000,00 dan satu sepeda balap Rp2.000.000,00. Jika ia memiliki modal Rp42.000.000,00, maka berapa banyak masing-masing jenis sepeda yang bisa ia beli?

Hal ini adalah masalah optimasi sederhana yang dapat dimodelkan dengan SPLDV. Kita dapat membuat persamaan untuk total jumlah sepeda dan persamaan lain untuk total biaya. Dengan menyelesaikan sistem ini, pengusaha tersebut bisa membuat keputusan pembelian yang paling efisien.

3. Dunia Sains dan Teknik: Memahami Hukum Alam

Dalam fisika, SPLDV memiliki peran penting. Misalnya, Hukum Hooke yang menjelaskan hubungan antara peregangan pegas dan beban yang diberikan padanya dapat dimodelkan dengan persamaan linear dua variabel. Dengan dua set data peregangan dan beban, kita bisa membentuk SPLDV untuk menentukan konstanta pegas, yang esensial dalam perancangan berbagai alat dan mesin.

Kesimpulan: Matematika Itu Indah dan Bermanfaat!

Dari contoh-contoh tersebut, jelaslah bahwa Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) bukanlah sekadar materi pelajaran yang membosankan di sekolah. SPLDV adalah alat analisis yang powerful, membantu kita memodelkan, memahami, dan menyelesaikan berbagai permasalahan kompleks dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari hal-hal sederhana seperti berbelanja hingga aplikasi yang lebih canggih di bidang sains dan bisnis.

Jadi, lain kali Anda bertemu dengan masalah yang melibatkan dua variabel dan dua kondisi, ingatlah SPLDV! Dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, atau kombinasi eliminasi-substitusi, Anda memiliki kemampuan untuk mengungkap rahasia di balik angka-angka dan menemukan solusi yang tepat. Matematika itu indah, dan dengan SPLDV, Anda sekarang memiliki salah satu kunci untuk membuka keindahan dan manfaatnya dalam hidup Anda. Mari terus belajar dan mengeksplorasi keajaiban matematika!

Referensi:

Buku Siswa Matematika Kelas IX Semester Ganjil – Kemdikbud 2022.