MENGAPA √2 DISEBUT BILANGAN IRASIONAL?

Tahukah kamu bahwa √2 adalah bilangan pertama yang terbukti irasional?

Temukan sejarah mengejutkan dan pembuktian sederhananya dalam artikel berikut!

Bilangan √2 (akar dua) adalah salah satu bilangan paling terkenal dalam matematika.

Tapi, mengapa bilangan tersebut disebut "irasional"?

Apa artinya, dan bagaimana sejarah penemuannya?

Ternyata, di balik √2 tersimpan drama matematika kuno yang bahkan konon membuat seorang matematikawan Yunani dihukum berat karena membongkar rahasianya!

Dalam artikel berikut, kita akan membahas:

1. Apa itu bilangan irasional?

2. Sejarah penemuan √2 oleh Pythagoras dan muridnya.

3. Pembuktian sederhana bahwa √2 tidak bisa diubah menjadi pecahan.

4. Aplikasi √2 dalam kehidupan sehari-hari.

Mari kita selami dunia menarik di balik bilangan misterius tersebut!

1. Apa Itu Bilangan Irasional?

Sebelum memahami √2, kita harus tahu dulu jenis-jenis bilangan:

a. Bilangan Bulat: {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

b. Bilangan Pecahan (Rasional): ½, ¾, 0,25 (bisa ditulis dalam bentuk, di mana a dan b bilangan bulat).

c. Bilangan Irasional: √2, π, e (tidak bisa ditulis dalam bentuk pecahan).

√2 adalah bilangan irasional karena tidak bisa dinyatakan sebagai pecahan, di mana a dan b adalah bilangan bulat.

Contoh:

a. √4 = 2 (bilangan rasional, karena hasilnya bulat).

b. √2 ≈ 1,414213562… (desimalnya tidak berulang dan tidak berakhir → bilangan irasional).

2. Sejarah Menarik: Rahasia yang Dilarang Pythagoras

Di zaman Yunani Kuno, Pythagoras (dan kelompoknya, Pythagorean Brotherhood) percaya bahwa semua bilangan di alam semesta adalah rasional. Mereka menganggap pecahan dan bilangan bulat adalah dasar segala ukuran.

Suatu hari, seorang murid Pythagoras bernama Hippasus menemukan sesuatu yang mengejutkan:

"Diagonal persegi dengan ukuran panjang sisi 1 ternyata adalah √2, dan bilangan tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pecahan!"

Hal tersebut bertentangan dengan keyakinan Pythagoras bahwa semua bilangan bisa diwakili oleh rasio bilangan bulat. Konon, Hippasus dihukum berat (ada yang bilang ia dibuang ke laut!) karena membocorkan rahasia tersebut.

Fakta Menarik:

a. Penemuan √2 sebagai irasional mengubah sejarah matematika.

b. Awalnya dirahasiakan karena dianggap "mengancam" pemahaman matematika saat itu.

3. Pembuktian Sederhana: Mengapa √2 Tidak Bisa Ditulis Pecahan?

Kita bisa membuktikan bahwa √2 irasional dengan metode kontradiksi.

Langkah-langkahnya:

1. Asumsikan √2 adalah bilangan rasional, artinya bisa ditulis sebagai pecahan √2 =, di mana:

✅ a dan b bilangan bulat,

✅ sudah disederhanakan (tidak punya faktor bersama selain 1).

2. Kuadratkan kedua sisi/ruas:

⇔ 2b² = a²

3. Artinya, a² adalah kelipatan 2 → a harus genap (karena kuadrat bilangan ganjil tetap ganjil).

Misalkan a = 2k, substitusi kembali:

2b² = (2k)²

⇔ 2b² = 4k²

⇔ 2b² : 2 = 4k² : 2

⇔ b² = 2k²

4. Sekarang, b² juga kelipatan 2 → b harus genap.

Kontradiksi!

✅ Awalnya kita asumsikan sudah sederhana (tidak punya faktor bersama).

✅ Tapi ternyata a dan b sama-sama genap (keduanya habis dibagi 2).

Sehingga,

Asumsi bahwa √2 adalah bilangan rasional salah!

Jadi, √2 adalah bilangan irasional.

(Pembuktian tersebut disebut "Reductio ad absurdum", yaitu membuktikan sesuatu dengan menunjukkan bahwa asumsi sebaliknya mustahil.)

4. Aplikasi √2 dalam Kehidupan Nyata

Meskipun terlihat abstrak, √2 sangat berguna dalam:

a. Ukuran Kertas A4 (Standar ISO 216)

✅ Rasio panjang dan lebar kertas A4 adalah 1 : √2.

✅Mengapa?

      Karena jika dilipat dua, rasio tetap sama!

b. Diagonal Layar Televisi & Monitor

✅ Jika televisi memiliki ukuran panjang dan lebar 1 meter, maka ukuran diagonalnya adalah √2 meter.

c. Arsitektur & Seni

✅ Banyak bangunan kuno menggunakan √2 untuk proporsi yang seimbang.

5. Mitos & Kesalahpahaman tentang √2

✅ "√2 adalah bilangan negatif" → Salah! √2 selalu bilangan positif.

✅ "√2 tidak berguna" → Padahal dipakai di kertas, layar, dan desain.

✅ "Hippasus dibunuh karena √2" → Sebagian sejarawan meragukan cerita tersebut.

Kesimpulan

√2 adalah bilangan istimewa karena:

✅ Bilangan irasional pertama yang ditemukan.

✅ Mengubah cara manusia memandang matematika.

✅ Berguna dalam kehidupan sehari-hari.

Sekarang kamu tahu mengapa √2 begitu unik!

Coba cek:

Apakah √3 juga irasional?

(Clue: Bisa dibuktikan dengan cara serupa!)

Ayo Diskusi!

✅ Menurutmu, mengapa Pythagoras begitu terkejut dengan penemuan √2?

✅ Bisakah kamu menemukan contoh lain bilangan irasional dalam kehidupan sehari-hari?

Penutup

Dengan memahami √2, kita melihat betapa matematika bukan hanya angka dan bilangan, tapi juga cerita, sejarah, dan keindahan tersembunyi. Semoga artikel tersebut membuatmu semakin penasaran dengan misteri matematika lainnya!