|
OMI • Teori Bilangan
Berburu Bilangan Palindrom di Juz 30
|
|
Soal
Suatu bilangan dapat dikatakan palindrom jika cara membacanya dari depan maupun belakang sama. Abaikan tanda titik dua (:) pada nomor surat dan nomor ayat, misal [1:1], [2:12], dan [78:7].
Jika n adalah banyak nomor surat dan ayat palindrom pada Juz 30, maka nilai dari n² − n adalah ….
|
Alternatif Penyelesaian
Waktu pertama baca soal tersebut, aku sempat bingung karena harus mengecek satu per satu nomor surat dan ayat di Juz 30. Tapi setelah aku coba cari polanya, ternyata soal tersebut bisa diselesaikan tanpa harus menghafal semua ayat Al-Qur'an. Yuk, aku tunjukkan caranya!
|
|
Memahami Maksud "Palindrom"
Nomor surat dan ayat digabung dulu tanpa tanda titik dua, baru dicek apakah hasilnya sama jika dibaca dari depan maupun belakang.
Contoh: [1:1] → digabung jadi "11" → dibaca dari belakang tetap "11" → palindrom.
[2:12] → jadi "212" → dibalik tetap "212" → palindrom.
[78:7] → jadi "787" → dibalik tetap "787" → palindrom.
|
|
|
Mengenali "Daerah Kerja": Juz 30
Juz 30 (juz 'Amma) berisi surat nomor 78 sampai 114. Jadi aku hanya perlu memeriksa nomor surat 78, 79, 80, …, sampai 114 — tidak perlu memeriksa seluruh 114 surat Al-Qur'an.
|
|
|
Menemukan Pola untuk Nomor Surat 2 Angka (78–99)
Nomor surat 78–99 punya 2 angka, misal 78 = "7" dan "8". Aku pisahkan jadi dua kasus, tergantung nomor ayatnya 1 angka atau 2 angka.
» Kasus A: nomor ayat 1 angka
Hasil gabungannya punya 3 angka, contoh "7 8 a". Supaya palindrom, angka pertama harus sama dengan angka terakhir, jadi angka ayat (a) harus sama dengan angka pertama nomor surat. Contoh surat 78: angka pertamanya "7", jadi ayat ke-7 otomatis palindrom → "787". Ini persis seperti contoh [78:7] di soal!
» Kasus B: nomor ayat 2 angka
Hasil gabungannya punya 4 angka, contoh "7 8 a₁ a₂". Supaya palindrom, angka pertama = angka terakhir, dan angka kedua = angka ketiga. Artinya nomor ayat harus sama dengan nomor surat yang dibalik. Contoh surat 81 → dibalik jadi 18, maka ayat ke-18 otomatis palindrom → "8118". Tapi ini hanya berlaku kalau surat itu benar-benar punya ayat sebanyak itu!
|
|
|
Mengecek Satu per Satu Surat 78–99
Aku buat tabel: banyak ayat tiap surat aku bandingkan dengan syarat dari Langkah 3.
| Nomor Surat |
Banyak Ayat |
Palindrom Ditemukan |
| 78 | 40 | [78:7] → 787 |
| 79 | 46 | [79:7] → 797 |
| 80 | 42 | [80:8] → 808 |
| 81 | 29 | [81:8]→818 dan [81:18]→8118 |
| 82 | 19 | [82:8] → 828 |
| 83 | 36 | [83:8] → 838 |
| 84 | 25 | [84:8] → 848 |
| 85 | 22 | [85:8] → 858 |
| 86 | 17 | [86:8] → 868 |
| 87 | 19 | [87:8] → 878 |
| 88 | 26 | [88:8] → 888 |
| 89 | 30 | [89:8] → 898 |
| 90 | 20 | [90:9] → 909 |
| 91 | 15 | [91:9] → 919 |
| 92 | 21 | [92:9] → 929 |
| 93 | 11 | [93:9] → 939 |
| 94 | 8 | butuh ayat ke-9, tapi surat hanya 8 ayat → tidak ada |
| 95 | 8 | butuh ayat ke-9, tapi surat hanya 8 ayat → tidak ada |
| 96 | 19 | [96:9] → 969 |
| 97 | 5 | butuh ayat ke-9, tapi surat hanya 5 ayat → tidak ada |
| 98 | 8 | butuh ayat ke-9, tapi surat hanya 8 ayat → tidak ada |
| 99 | 8 | butuh ayat ke-9, tapi surat hanya 8 ayat → tidak ada |
Dari surat 78 sampai 99, aku dapat 17 titik dari kasus ayat 1 angka (yaitu di surat 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, dan 96), ditambah 1 titik tambahan dari surat 81 di kasus ayat 2 angka (yaitu [81:18]). Jadi totalnya 18 pasangan palindrom untuk rentang surat 78–99.
|
|
|
Kasus Nomor Surat 3 Angka (100–114)
Untuk surat 100–114, angka penyusunnya adalah "1", "0", dan angka satuan (misalnya surat 104 → 1, 0, 4) serta "1", "1", dan angka satuan (misalnya surat 114 → 1, 1, 4). Untuk surat 100–109, kalau digabung dengan ayat 1 angka, jadinya 4 angka: "1 0 x a". Supaya palindrom: angka pertama = angka terakhir (a = 1), dan angka kedua = angka ketiga (x = 0, artinya x harus 0). Untuk surat 110–114, kalau digabung dengan ayat 1 angka, jadinya 4 angka: "1 1 y b". Supaya palindrom: angka pertama = angka terakhir (b = 1), dan angka kedua = angka ketiga (y = 1, artinya y harus 1).
Hanya ada satu surat dengan angka satuan = 0, yaitu surat 100 (Al-'Adiyat, 11 ayat) dan hanya ada satu surat juga dengan angka satuan = 1, yaitu surat 111 (Al-Lahab, 5 ayat). Karena a dan harus = 1, maka yang dicek adalah ayat ke-1 pada kedua surat tersebut, dan keduanya memang punya ayat pertama:
• [100:1] → "1001" (dibalik tetap 1001) → palindrom
• [111:1] → "1111" (dibalik tetap 1111) → palindrom
|
|
|
Menjumlahkan Semua dan Menghitung n² − n
Sekarang tinggal dijumlahkan: 18 pasangan (dari surat 78–99, sudah termasuk dua pasangan milik surat 81) + 2 pasangan (dari surat 100 dan surat 111) = n = 20.
Sehingga,
n² − n = 20² − 20 = 400 − 20 = 380
|
|
Jawaban Akhir
n² − n = 380
|
Ternyata soal yang terlihat rumit tersebut bisa diselesaikan hanya dengan menyusun tabel dan mencari pola sederhana, tanpa perlu menghafal seluruh ayat di Al-Qur'an. Kalau murid-murid mau berlatih soal sejenis, jangan sungkan tinggalkan komentar ya!
|
