SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 4)
OSK SMA MA 2024 · Matematika
Soal & Alternatif Penyelesaian
Olimpiade Sains Kabupaten/Kota · Jenjang SMA/MA/Sederajat
📝
Soal
Misalkan \(a, b\) adalah bilangan bulat positif yang tidak memiliki faktor persekutuan
positif selain \(1\).
Jika berlaku:
$$\frac{1+2+3+\cdots+101+102}{3+4+5+\cdots+103+104} = \frac{a}{b}$$
maka nilai \(a + b = \ldots\)
✏️
Alternatif Penyelesaian
Rumus yang digunakan: Jumlah deret aritmetika bilangan asli dari \(1\) sampai \(n\):
\[S_n = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}\]
\[S_n = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}\]
1
Menghitung Pembilang (Numerator)
Pembilang adalah jumlah bilangan bulat dari \(1\) sampai \(102\).
\[
1+2+3+\cdots+102 = \frac{102 \times 103}{2} = \frac{10.506}{2} = \boldsymbol{5.253}
\]
2
Menghitung Penyebut (Denominator)
Penyebut adalah jumlah bilangan dari \(3\) sampai \(104\).
Trik: Hitung jumlah dari \(1\) s.d. \(104\), lalu kurangi \((1+2)\). \[ 1+2+3+\cdots+104 = \frac{104 \times 105}{2} = \frac{10.920}{2} = 5.460 \] \[ 3+4+5+\cdots+104 = 5.460 - (1+2) = 5.460 - 3 = \boldsymbol{5.457} \]
Trik: Hitung jumlah dari \(1\) s.d. \(104\), lalu kurangi \((1+2)\). \[ 1+2+3+\cdots+104 = \frac{104 \times 105}{2} = \frac{10.920}{2} = 5.460 \] \[ 3+4+5+\cdots+104 = 5.460 - (1+2) = 5.460 - 3 = \boldsymbol{5.457} \]
3
Membentuk Pecahan
Substitusikan hasil tersebut ke dalam persamaan soal:
\[
\frac{1+2+\cdots+102}{3+4+\cdots+104} = \frac{5.253}{5.457}
\]
Pecahan tersebut belum tentu dalam bentuk paling sederhana. Selanjutnya kita
cari FPB (Faktor Persekutuan terBesar) dari kedua bilangan tersebut.
4
Mencari FPB dengan Algoritma Euclidean
Algoritma Euclidean: bagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih
kecil, ambil sisa pembagiannya, ulangi hingga sisa = 0.
Sisa menjadi \(0\) pada langkah terakhir dengan pembagi \(51\), maka
FPB\((5.253,\, 5.457) = 51\).
| Langkah | Operasi | Hasil Bagi | Sisa |
|---|---|---|---|
| 1 | \(5.457 \div 5.253\) | 1 | \(204\) |
| 2 | \(5.253 \div 204\) | 25 | \(153\) |
| 3 | \(204 \div 153\) | 1 | \(51\) |
| 4 | \(153 \div 51\) | 3 | \(\mathbf{0}\) ✓ |
5
Menyederhanakan Pecahan
Bagi pembilang dan penyebut dengan FPB = 51:
\[
\frac{5.253}{5.457} = \frac{5.253 \div 51}{5.457 \div 51} = \frac{103}{107}
\]
Verifikasi: \(103\) dan \(107\) keduanya adalah bilangan prima,
sehingga FPB-nya adalah \(1\). ✓
Artinya pecahan \(\dfrac{103}{107}\) sudah dalam bentuk paling sederhana, sesuai syarat soal bahwa \(a\) dan \(b\) tidak memiliki faktor persekutuan selain \(1\).
Artinya pecahan \(\dfrac{103}{107}\) sudah dalam bentuk paling sederhana, sesuai syarat soal bahwa \(a\) dan \(b\) tidak memiliki faktor persekutuan selain \(1\).
6
Kesimpulan
Diperoleh \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{103}{107}\), sehingga:
\[
a = 103, \quad b = 107
\]
\[
a + b = 103 + 107 = \boldsymbol{210}
\]
Jawaban Akhir
\(a + b = 103 + 107 = \mathbf{210}\)
dengan \(a = 103\) dan \(b = 107\) keduanya bilangan prima,
sehingga \(FPB(a, b) = 1\) memenuhi syarat soal.
sehingga \(FPB(a, b) = 1\) memenuhi syarat soal.
){kind=link}
Posting Komentar untuk "SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 4)"
Posting Komentar