SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 6)

Olimpiade Sains Kota/Kabupaten · SMP MTs · 2024

✦

📝

Soal Pilihan Ganda

Suatu bilangan bulat positif n disebut bilangan JUMPAT jika jumlah n bilangan bulat positif pertama dapat dinyatakan sebagai penjumlahan empat bilangan bulat positif berurutan.

---

Banyaknya bilangan JUMPAT yang kurang dari 2024 adalah ....

A

252

B

253

C

504

D

505

✓ Jawaban: D. 505

Lihat alternatif penyelesaian berikut.

💡

Alternatif Penyelesaian

1

Ingat Rumus Jumlah Bilangan Bulat Positif Pertama

Jumlah bilangan bulat positif pertama sebanyak $n$ buah adalah:

$$S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

Contohnya:

$S_3 = 1+2+3 = 6$  |  $S_4 = 1+2+3+4 = 10$  |  $S_5 = \frac{5 \times 6}{2} = 15$

---

2

Tulis Jumlah Empat Bilangan Bulat Positif Berurutan

Misalkan empat bilangan bulat positif berurutan adalah $k,\ k+1,\ k+2,\ k+3$ dengan $k \geq 1$. Jumlah keempatnya:

$$k + (k+1) + (k+2) + (k+3) = 4k + 6$$

Catatan penting: nilai $4k + 6$ selalu genap dan selalu merupakan kelipatan 2. Saat $k=1$: $4(1)+6=10$. Saat $k=2$: $4(2)+6=14$. Saat $k=3$: $4(3)+6=18$, dan seterusnya.

---

3

Buat Persamaannya dan Cari Syarat $n$

Supaya $n$ adalah bilangan JUMPAT, harus berlaku:

$$\dfrac{n(n+1)}{2} = 4k + 6$$

Kalikan kedua ruas dengan 2:

$$n(n+1) = 8k + 12$$

Dari sini, $k$ harus bilangan bulat positif ($k \geq 1$), sehingga nilai $n(n+1)$ yang mungkin adalah: $20, 28, 36, 44, \ldots$ (yaitu $8k+12$ untuk $k = 1, 2, 3, 4, \ldots$).

Mari kita periksa satu per satu nilai $n$ mulai dari $n = 1$:

$n$	$n(n+1)$	$k = \frac{n(n+1)-12}{8}$	JUMPAT?
1	2	$\frac{2-12}{8} = -1{,}25$	Bukan
2	6	$\frac{6-12}{8} = -0{,}75$	Bukan
3	12	$\frac{12-12}{8} = 0$	Bukan
4	20	$\frac{20-12}{8} = 1$ ✓	✓ JUMPAT
5	30	$\frac{30-12}{8} = 2{,}25$	Bukan
6	42	$\frac{42-12}{8} = 3{,}75$	Bukan
7	56	$\frac{56-12}{8} = 5{,}5$	Bukan
8	72	$\frac{72-12}{8} = 7{,}5$	Bukan
9	90	$\frac{90-12}{8} = 9{,}75$	Bukan
10	110	$\frac{110-12}{8} = 12{,}25$	Bukan
11	132	$\frac{132-12}{8} = 15$ ✓	✓ JUMPAT
12	156	$\frac{156-12}{8} = 18$ ✓	✓ JUMPAT
13	182	$\frac{182-12}{8} = 21{,}25$	Bukan
14	210	$\frac{210-12}{8} = 24{,}75$	Bukan
15	240	$\frac{240-12}{8} = 28{,}5$	Bukan
16	272	$\frac{272-12}{8} = 32{,}5$	Bukan
17	306	$\frac{306-12}{8} = 36{,}75$	Bukan
18	342	$\frac{342-12}{8} = 41{,}25$	Bukan
19	380	$\frac{380-12}{8} = 46$ ✓	✓ JUMPAT
20	420	$\frac{420-12}{8} = 51$ ✓	✓ JUMPAT

---

4

Temukan Pola Bilangan JUMPAT

Dari hasil tersebut, bilangan-bilangan JUMPAT adalah:

4, 11, 12, 19, 20, 27, 28, ...

Jadi urutan bilangan JUMPAT yang benar mulai dari yang terkecil adalah:

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Bilangan JUMPAT

Bukan JUMPAT

Pola yang terlihat: Dalam setiap 8 bilangan berurutan, selalu ada tepat 2 bilangan JUMPAT yang berpasangan. Polanya selalu berulang: 2 JUMPAT, lalu 6 bukan JUMPAT, lalu 2 JUMPAT, lalu 6 bukan JUMPAT, ...

Khusus di awal (n = 4), ada 1 bilangan JUMPAT yang berdiri sendiri, sebelum pola pasangan (11, 12), (19, 20), (27, 28), ... berlaku.

---

5

Kelompokkan Pasangan Bilangan JUMPAT

Dari pola tersebut, bilangan JUMPAT dapat dikelompokkan menjadi pasangan-pasangan berikut. Setiap pasangan berselisih 4 dari pasangan sebelumnya:

Kelompok ke-	Pasangan JUMPAT	Jumlah JUMPAT (akumulasi)
Awal (tunggal)	4	1
1	11, 12	3
2	19, 20	5
3	27, 28	7
4	35, 36	9
5	43, 44	11
... dan seterusnya ...
$p$	$(8p+3),\ (8p+4)$	$2p+1$

Rumus pasangan ke-$p$: Pasangan ke-$p$ adalah bilangan $(8p+3)$ dan $(8p+4)$, dengan $p = 1, 2, 3, \ldots$

---

6

Hitung Banyak Bilangan JUMPAT yang Kurang dari 2024

Kita perlu mencari pasangan terakhir yang anggotanya masih kurang dari 2024. Anggota terbesar dari pasangan ke-$p$ adalah $8p + 4$.

Syarat agar pasangan ke-$p$ masih masuk (anggota terbesarnya $< 2024$):

$$8p + 4 < 2024 \implies 8p < 2020 \implies p < 252{,}5$$

Karena $p$ harus bilangan bulat, maka $p$ maksimum adalah $\mathbf{p = 252}$.

Mari kita periksa pasangan ke-252 dan ke-253:

Pasangan ke-	Bilangan JUMPAT	Kurang dari 2024?
252	$8(252)+3 = 2019$ dan $8(252)+4 = 2020$	✓ Ya, keduanya < 2024
253	$8(253)+3 = 2027$ dan $8(253)+4 = 2028$	✗ Tidak, keduanya ≥ 2024

Jadi pasangan yang masuk adalah pasangan ke-1 sampai ke-252, ditambah bilangan JUMPAT tunggal pertama yaitu $n = 4$.

Bilangan JUMPAT tunggal

1

yaitu $n = 4$

Jumlah pasangan

252

pasangan ke-1 s.d. ke-252

JUMPAT dari 252 pasangan

504

$252 \times 2 = 504$

$$\text{Total bilangan JUMPAT} = 1 + 504 = \boxed{505}$$

---

✅

Kesimpulan Banyaknya bilangan JUMPAT yang kurang dari 2024 adalah 505, sehingga jawaban yang benar adalah pilihan D. 505.

OSK SMP MTs 2024 · Matematika