SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 9)

OSK SMA MA 2024 Soal Nomor 9

∑

Teori Bilangan

Olimpiade Sains Kabupaten/Kota · SMA/MA/Sederajat · 2024

Soal

Misalkan $k$ adalah bilangan bulat positif terkecil kelipatan 2024 yang memiliki 28 faktor positif.

Sisa hasil bagi $k$ oleh 100 adalah ....

Alternatif Penyelesaian

1

Faktorisasi Prima 2024

Pertama, kita uraikan 2024 ke dalam bentuk perkalian faktor prima:

$$2024 = 2^3 \times 11 \times 23$$

Jadi, 2024 tersusun dari tiga faktor prima yang berbeda, yaitu $2$, $11$, dan $23$.

2

Rumus Jumlah Faktor Positif

Ingat: Jika $n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_r^{a_r}$, maka banyaknya faktor positif dari $n$ adalah:

$$\tau(n) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_r+1)$$

Contoh: $12 = 2^2 \times 3^1 \Rightarrow \tau(12) = (2+1)(1+1) = 6$. Faktor 12 adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12, memang ada 6 faktor. ✓

3

Syarat yang Harus Dipenuhi $k$

Karena $k$ adalah kelipatan $2024 = 2^3 \times 11 \times 23$, maka $k$ pasti memuat faktor prima 2, 11, dan 23 dengan eksponen minimal:

$$k = 2^a \times 11^b \times 23^c \times \cdots \quad \text{dengan } a \geq 3,\; b \geq 1,\; c \geq 1$$

Syarat jumlah faktor:

$$(a+1)(b+1)(c+1)\cdots = 28$$

Karena $a \geq 3$, $b \geq 1$, $c \geq 1$, maka secara berturut-turut berlaku:

$$(a+1) \geq 4, \quad (b+1) \geq 2, \quad (c+1) \geq 2$$

4

Mencocokkan Semua Kemungkinan

Faktorisasi 28 menjadi perkalian bilangan bulat positif yang terurut turun:

$$28 = 28 = 14 \times 2 = 7 \times 4 = 7 \times 2 \times 2 = 4 \times 2 \times \cdots$$

Periksa setiap kemungkinan terhadap syarat di atas:

Bentuk Perkalian	$(a,b,c,\ldots)$	Memenuhi Syarat?	Alasan
$28$	$(27)$	✗ Tidak	Hanya 1 faktor prima; tidak ada faktor 11 dan 23
$14 \times 2$	$(13,\,1)$	✗ Tidak	Hanya 2 faktor prima; tidak ada faktor 23
$7 \times 4$	$(6,\,3)$	✗ Tidak	Hanya 2 faktor prima; tidak ada faktor 23
$2 \times 2 \times 7$	$(1,\,1,\,6)$	✗ Tidak	$a=1 < 3$, tidak memenuhi syarat eksponen 2
$\mathbf{7 \times 2 \times 2}$	$\mathbf{(6,\,1,\,1)}$	✓ Ya	$a=6\geq3$, $b=1\geq1$, $c=1\geq1$ — semua terpenuhi

Kesimpulan: Satu-satunya bentuk yang memenuhi semua syarat adalah $(a+1,\, b+1,\, c+1) = (7,\, 2,\, 2)$, yaitu $a = 6$, $b = 1$, $c = 1$.

5

Menghitung Nilai $k$

Dengan $a=6$, $b=1$, $c=1$, diperoleh:

$$k = 2^6 \times 11^1 \times 23^1$$

$$k = 64 \times 11 \times 23 = 64 \times 253 = 16.192$$

6

Sisa Hasil Bagi $k$ oleh 100

Bagi $k = 16.192$ dengan 100:

$$16.192 = 161 \times 100 + 92$$

Sisa hasil bagi 16.192 oleh 100 sama dengan dua digit terakhir dari $k$, yaitu:

Jawaban

92

Verifikasi: Faktor positif dari $k = 16.192 = 2^6 \times 11 \times 23$ berjumlah $(6+1)(1+1)(1+1) = 7 \times 2 \times 2 = 28$ ✓, sesuai syarat soal. Selain itu, $16.192 = 8 \times 2024$ sehingga $k$ memang merupakan kelipatan 2024. ✓

Olimpiade Sains Kabupaten/Kota (OSK) · SMA/MA/Sederajat · Matematika 2024