SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 3)

OSK · SMA/MA · 2024

Olimpiade Sains Kota/Kabupaten
Matematika

📋

Soal

Pada papan tulis tertulis 80 bilangan asli \(1, 1, \ldots, 1, a, b\) (ada sebanyak 78 bilangan 1). Hasil penjumlahan seluruh bilangan di papan adalah \(A\) dan demikian juga hasil perkalian semua bilangan di papan adalah \(A\).

Nilai \(A\) adalah ….

✏️

Alternatif Penyelesaian

1

Menyusun Persamaan dari Kondisi Penjumlahan

Di papan tulis terdapat 80 bilangan: 78 angka 1, ditambah bilangan \(a\) dan \(b\). Sehingga, jumlah seluruh bilangan adalah:

\(\displaystyle \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{78 \text{ bilangan}} + a + b \;=\; 78 + a + b\)

Karena jumlah ini sama dengan \(A\), diperoleh persamaan pertama:

\(\displaystyle A = 78 + a + b \quad \cdots (1)\)

---

2

Menyusun Persamaan dari Kondisi Perkalian

Perkalian 78 angka 1 bernilai 1, sehingga hasil kali semua bilangan di papan adalah:

\(\displaystyle \underbrace{1 \times 1 \times \cdots \times 1}_{78 \text{ bilangan}} \times a \times b \;=\; 1 \times a \times b \;=\; ab\)

Karena hasil kali ini juga sama dengan \(A\), diperoleh persamaan kedua:

\(\displaystyle A = ab \quad \cdots (2)\)

---

3

Menggabungkan Kedua Persamaan

Dari persamaan (1) dan (2), karena keduanya sama-sama bernilai \(A\):

\(\displaystyle ab = 78 + a + b\)

Pindahkan semua suku ke ruas kiri:

\(\displaystyle ab - a - b = 78\)

💡 Trik Faktorisasi

Tambahkan angka 1 ke kedua ruas agar bisa difaktorkan: \[ab - a - b + 1 = 78 + 1 = 79\] \[(a - 1)(b - 1) = 79\]

---

4

Menentukan Nilai \(a\) dan \(b\)

Karena \(a\) dan \(b\) adalah bilangan asli, maka \((a-1)\) dan \((b-1)\) adalah bilangan bulat non-negatif. Perhatikan bahwa 79 adalah bilangan prima, sehingga satu-satunya cara memfaktorkan \(79\) sebagai hasil kali dua bilangan asli adalah:

\((a - 1)\)	\((b - 1)\)	Hasil Kali	\(a\)	\(b\)
1	79	79 ✓	2	80
79	1	79 ✓	80	2

Kedua baris tabel di atas pada dasarnya memberikan hasil yang sama (hanya urutan \(a\) dan \(b\) yang ditukar), sehingga solusinya adalah:

\(\displaystyle a = 2, \quad b = 80 \quad \text{(atau sebaliknya)}\)

---

5

Menghitung Nilai \(A\)

Gunakan persamaan (2):

\(\displaystyle A = ab = 2 \times 80 = 160\)

✅ Verifikasi dengan Persamaan (1)

\(\displaystyle A = 78 + a + b = 78 + 2 + 80 = 160 \checkmark\)
Kedua kondisi soal terpenuhi.

✨ Kesimpulan

\(A = 160\)

Jumlah sekaligus hasil kali 80 bilangan asli tersebut adalah 160.

Matematika