SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 8)

OSK SMP MTs 2024 · Matematika · Sistem Persamaan

Soal

Jika bilangan real positif $p,\, q,\, r,\, s$ memenuhi sistem persamaan

$$p^2 + q^2 = r^2 + s^2,$$

$$p^2 + s^2 - ps = q^2 + r^2 + qr,$$

maka nilai dari

$$\frac{pq + rs}{ps + qr}$$

adalah …

---

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Alternatif Penyelesaian

🔑 Ide Utama: Karena soal meminta nilai pasti (bukan rentang), kita dapat mencari hubungan antara variabel dari kedua persamaan, kemudian memilih nilai yang memenuhi agar penghitungan menjadi lebih mudah.

1

Sederhanakan Persamaan (1)

Persamaan pertama:

$$p^2 + q^2 = r^2 + s^2$$

Ubah persamaan tersebut menjadi:

$$p^2 - s^2 = r^2 - q^2$$

Gunakan pemfaktoran selisih kuadrat $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$(p-s)(p+s) = (r-q)(r+q) \quad \cdots (1')$$

2

Sederhanakan Persamaan (2)

Persamaan kedua:

$$p^2 + s^2 - ps = q^2 + r^2 + qr$$

Pindahkan semua ke satu sisi, kelompokkan:

$$(p^2 - q^2) + (s^2 - r^2) - ps - qr = 0$$

$$(p^2 - q^2) - (r^2 - s^2) = ps + qr \quad \cdots (2')$$

Faktorkan lagi dengan selisih kuadrat:

$$(p-q)(p+q) - (r-s)(r+s) = ps + qr$$

3

Coba Asumsi $p = q$

Misalkan $p = q$. Substitusi ke persamaan (1):

$$p^2 + p^2 = r^2 + s^2 \implies 2p^2 = r^2 + s^2 \quad \cdots (*)$$

Substitusi $p = q$ ke persamaan (2):

$$p^2 + s^2 - ps = p^2 + r^2 + pr$$

$$s^2 - r^2 = ps + pr = p(s + r)$$

$$(s - r)(s + r) = p(s + r)$$

Karena $s + r \neq 0$ (semua bilangan positif), kedua sisi boleh dibagi $(s+r)$.

$$\boxed{s - r = p}$$

4

Tentukan Nilai $p$ dari Persamaan $(*)$

Karena $s = r + p$, substitusi ke persamaan $(*)$:

$$2p^2 = r^2 + (r + p)^2 = r^2 + r^2 + 2rp + p^2$$

$$2p^2 = 2r^2 + 2rp + p^2$$

$$p^2 - 2rp - 2r^2 = 0$$

Pilih $r = 1$ agar mudah. Persamaan menjadi:

$$p^2 - 2p - 2 = 0$$

Gunakan rumus kuadrat $p = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ dengan $a=1,\, b=-2,\, c=-2$:

$$p = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$

Karena $p > 0$, diambil $p = 1 + \sqrt{3}$.

Maka diperoleh nilai-nilai variabel:

$$r = 1, \quad p = q = 1+\sqrt{3}, \quad s = r + p = 2+\sqrt{3}$$

5

Hitung Nilai Ekspresi

Karena $p = q$, ekspresi yang ditanyakan menjadi:

$$\frac{pq + rs}{ps + qr} = \frac{p^2 + rs}{ps + pr} = \frac{p^2 + rs}{p(s + r)}$$

Hitung tiap bagian:

$$p^2 = (1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$$

$$rs = 1 \cdot (2+\sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3}$$

$$s + r = (2+\sqrt{3}) + 1 = 3 + \sqrt{3}$$

$$p(s+r) = (1+\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3 = 6 + 4\sqrt{3}$$

Pembilang:

$$p^2 + rs = (4 + 2\sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 6 + 3\sqrt{3} = 3(2 + \sqrt{3})$$

Penyebut:

$$p(s+r) = 6 + 4\sqrt{3} = 2(3 + 2\sqrt{3})$$

Perhatikan bahwa $3 + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3}(2 + \sqrt{3})$, sehingga:

$$\frac{3(2+\sqrt{3})}{2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$$

Rasionalisasi penyebut:

$$\frac{3}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

✓ Jawaban ✓

D

$\displaystyle\frac{pq + rs}{ps + qr} = \frac{\sqrt{3}}{2}$