SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 5)

OSK SMA MA · Matematika · 2024

Bilangan

Olimpiade Sains Nasional — Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota

✦

Soal

Bilangan OSK adalah bilangan 4 angka yang tidak dimulai dengan angka 0 dan hasil penjumlahan semua digitnya adalah 8. Sebagai contoh, 2024 merupakan bilangan OSK.

---

Banyaknya bilangan OSK adalah ….

①

Alternatif Penyelesaian

1

Memahami masalah
Misalkan bilangan 4 angka yang dimaksud adalah \(\overline{abcd}\). Kondisi yang harus dipenuhi adalah:

\(a \in \{1, 2, 3, \ldots, 8\}\)  →  digit pertama tidak boleh 0

\(b,\, c,\, d \in \{0, 1, 2, \ldots, 8\}\)

\(a + b + c + d = 8\)

(Tidak ada digit yang perlu dibatasi sampai 9 secara khusus karena total jumlah digit hanya 8, sehingga tidak ada satu digit pun yang bisa mencapai 9.)

2

Substitusi untuk menyederhanakan batas bawah
Karena \(a \geq 1\), kita misalkan \(a' = a - 1\), sehingga \(a' \geq 0\).
Persamaan \(a + b + c + d = 8\) menjadi:

\[(a' + 1) + b + c + d = 8\]

\[a' + b + c + d = 7, \quad a',\, b,\, c,\, d \geq 0\]

Persamaan ini kini berbentuk standar dengan empat variabel non-negatif yang jumlahnya sama dengan 7.

3

Menerapkan rumus Stars and Bars
Banyaknya solusi bulat non-negatif dari persamaan

\[x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n\]

adalah:

\[\binom{n + k - 1}{k - 1}\]

Untuk kasus ini, \(k = 4\) variabel dan \(n = 7\), sehingga:

\[\binom{7 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \mathbf{120}\]

⚠

Catatan Penting — Cek Batas Atas Digit

Setiap digit pada suatu bilangan desimal maksimal bernilai 9. Karena total jumlah keempat digit hanya 8, tidak mungkin ada satu digit yang bernilai \(\geq 9\) (sebab digit-digit lainnya minimal 0, dan \(8 < 9\)). Oleh karena itu, tidak ada kasus yang perlu dikurangi akibat pelanggaran batas atas digit.

✔

Jawaban

Banyaknya bilangan OSK

120

Diperoleh dari \(\displaystyle\binom{10}{3} = 120\)

Olimpiade Sains Kabupaten/Kota · Matematika SMA MA · Tahun 2024