SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 8)

OSK SMA MA 2024 — Teori Bilangan

Olimpiade Sains Kabupaten/Kota  ·  Matematika  ·  SMA/MA

✦ Soal

Banyak bilangan dua digit $\overline{ab}$, dengan $a, b \neq 0$, sehingga $\overline{ab} + \overline{ba}$ merupakan kelipatan 55 adalah ....

✦ Alternatif Penyelesaian

1

Nyatakan $\overline{ab}$ dan $\overline{ba}$ dalam bentuk aljabar

Bilangan dua digit $\overline{ab}$ artinya $a$ adalah angka puluhan dan $b$ adalah angka satuan, sehingga:

$$\overline{ab} = 10a + b \qquad \text{dan} \qquad \overline{ba} = 10b + a$$

2

Jumlahkan $\overline{ab}$ dan $\overline{ba}$

Kedua bilangan dijumlahkan:

$$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$$

3

Tentukan syarat agar hasilnya kelipatan 55

Kita memerlukan $11(a + b)$ merupakan kelipatan 55. Karena $55 = 11 \times 5$, maka:

$$11(a + b) = 55k \;\Longrightarrow\; a + b = 5k, \quad k \in \mathbb{Z}^+$$

Jadi, syaratnya adalah $a + b$ harus merupakan kelipatan 5.

4

Tentukan nilai $k$ yang mungkin

Karena $a, b \neq 0$ dan keduanya adalah digit (bernilai 1 sampai 9), maka:

$$a+b \;\text{ minimum} = 1 + 1 = 2, \qquad a+b \;\text{ maksimum} = 9 + 9 = 18$$

Kelipatan 5 yang berada di antara 2 dan 18:

$k$	$a + b = 5k$	Keterangan
1	5	✔ Memenuhi
2	10	✔ Memenuhi
3	15	✔ Memenuhi
4	20	✘ Melebihi 18

5

Hitung banyak pasangan $(a, b)$ untuk setiap kasus

Ingat bahwa $a, b \in \{1, 2, 3, \ldots, 9\}$ (keduanya tidak boleh nol):

Kasus $a + b = 5$

$(1, 4),\;(2, 3),\;(3, 2),\;(4, 1)$

$(5, 0)$ dan $(0, 5)$ tidak boleh karena $a, b \neq 0$.

→ 4 pasangan

Kasus $a + b = 10$

(1, 9),(2, 8),(3, 7),(4, 6),(5, 5),(6, 4),
(7, 3),(8, 2),(9, 1)

Semua pasangan memenuhi $a, b \neq 0$.

→ 9 pasangan

Kasus $a + b = 15$

$(6, 9),\;(7, 8),\;(8, 7),\;(9, 6)$

Pasangan lain melebihi digit maksimum 9.

→ 4 pasangan

⚠ Ingat: digit yang dipakai hanya 1–9 karena $a$ dan $b$ tidak boleh 0. Misalnya untuk $a+b=15$, pasangan seperti $(15,0)$ atau $(10,5)$ tidak valid karena digit hanya satu angka.

6

Hitung total keseluruhan

Jumlahkan seluruh pasangan yang memenuhi:

$$4 + 9 + 4 = \mathbf{17}$$

17

Jawaban akhir

Banyak bilangan dua digit $\overline{ab}$ yang memenuhi syarat $\overline{ab}+\overline{ba}$ merupakan kelipatan 55 adalah 17 bilangan.

Olimpiade Sains Kabupaten/Kota (OSK)  ·  SMA/MA Sederajat  ·  2024