SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 7)

OSK SMA MA 2024

Matematika · Geometri

📐

Segiempat ABCD

Olimpiade Sains Kota/Kabupaten (OSK) · SMA/MA/Sederajat · Tahun 2024

✦Soal

Diberikan segiempat ABCD dengan luas segitiga AED sama dengan luas segitiga BEC.

---

Jika $AB = 50$, $AE = 45$, dan $AC = 99$, maka $CD = \ldots$

✦Alternatif Penyelesaian

1Pahami Kondisi yang Diberikan

Titik $E$ adalah titik potong diagonal $AC$ dan $BD$ pada segiempat $ABCD$.

Syarat yang diberikan adalah:

$$[\triangle AED] = [\triangle BEC]$$

2Gunakan Sifat Luas Segitiga

Tambahkan luas $\triangle AEB$ di kedua ruas persamaan:

$$[\triangle AEB] + [\triangle AED] = [\triangle AEB] + [\triangle BEC]$$ $$\Downarrow$$ $$[\triangle ABD] = [\triangle ABC]$$

Artinya: Luas $\triangle ABD$ = Luas $\triangle ABC$.

3Simpulkan Posisi Garis DC Terhadap AB

Kedua segitiga $\triangle ABD$ dan $\triangle ABC$ memiliki alas yang sama, yaitu $AB$.

Jika dua segitiga beralas sama memiliki luas yang sama, maka tingginya harus sama. Ini berarti titik $D$ dan titik $C$ berada pada jarak yang sama dari garis $AB$.

Kesimpulan: $DC \parallel AB$, segiempat $ABCD$ adalah trapesium.

4Gunakan Sifat Perbandingan Diagonal pada Trapesium

Karena $DC \parallel AB$, maka berdasarkan teorema garis sejajar yang dipotong dua garis transversal (diagonal trapesium), berlaku:

$$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{DC}$$

5Hitung Panjang EC

Diketahui $AC = 99$ dan $AE = 45$, sehingga:

$$EC = AC - AE = 99 - 45 = 54$$

6Hitung Panjang CD

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam perbandingan:

$$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{DC}$$ $$\frac{45}{54} = \frac{50}{DC}$$ $$DC = \frac{50 \times 54}{45} = \frac{2700}{45} = 60$$

✦Jawaban

🏆

Ukuran panjang $CD$ yang memenuhi semua syarat soal adalah:

$CD$  =  60

Matematika SMA/MA/Sederajat  ·  OSK 2024

Berbagi