SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 7)

Olimpiade Sains Kota/Kabupaten (OSK) — SMP MTs 2024

Matematika  ·  Pilihan Ganda

Soal

No. 07 · OSK SMP MTs 2024

Diketahui $A = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ dan $\overline{rstu}$ adalah bilangan empat digit dengan $r,\, s,\, t,\, u$ adalah anggota $A$ yang berbeda.

Jika $\overline{rstu} + \overline{stu} = \overline{vwxyz}$, dengan $r, s, t, u, v, w, x, y, z$ adalah anggota $A$ yang berbeda, maka anggota $A$ yang tidak digunakan dalam operasi penjumlahan tersebut adalah ....

• A.2
• B.3
• C.5
• D.8

Alternatif Penyelesaian

1

Pahami Struktur Soal

Himpunan $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ memiliki 10 anggota.

Terdapat 9 huruf berbeda: $r, s, t, u, v, w, x, y, z$, masing-masing mewakili satu anggota $A$ yang unik.
Artinya, tepat 1 angka dari $A$ tidak terpakai. Itulah yang ditanya!

Keterangan bentuk bilangan:

• $\overline{rstu}$ = bilangan 4 digit
• $\overline{stu}$ = bilangan 3 digit (tiga digit terakhir dari $\overline{rstu}$)
• $\overline{vwxyz}$ = bilangan 5 digit (hasil penjumlahan)

---

2

Ubah ke Bentuk Aljabar

Karena $\overline{stu}$ adalah tiga digit terakhir dari $\overline{rstu}$, maka:

$$\overline{rstu} = 1000r + \overline{stu}$$

Substitusikan ke persamaan asal:

$$1000r + \overline{stu} + \overline{stu} = \overline{vwxyz}$$

$$\boxed{1000r + 2 \times \overline{stu} = \overline{vwxyz}}$$

---

3

Tentukan Nilai $r$ dan Digit Pertama Hasil

Agar hasil berupa bilangan 5 digit, diperlukan:

$$1000r + 2 \times \overline{stu} \;\geq\; 10000$$

Nilai paling memungkinkan adalah $r = 9$ (digit terbesar, sehingga $1000 \times 9 = 9000$). Sehingga, $v = 1$.

Persamaan menjadi:

$$9000 + 2 \times \overline{stu} = \overline{1wxyz}$$

$$2 \times \overline{stu} = 1000 + \overline{wxyz}$$

Digit 9 dan 1 sudah terpakai. Sisa digit untuk $s, t, u, w, x, y, z$ dipilih dari $\{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

---

4

Cari $\overline{stu}$ yang Menghasilkan Semua Digit Unik

Kita coba beberapa kandidat $\overline{stu}$ secara sistematis. Syarat: semua 9 digit yang muncul harus berbeda satu sama lain.

$\overline{stu}$	$\overline{rstu}$	Hasil $\overline{vwxyz}$	Digit Muncul	Status
867	9867	10734	9,8,6,7,1,0,7,3,4	✗ 7 ganda
878	9878	10756	9,8,7,8,…	✗ 8 ganda
846	9846	10692	9,8,4,6,1,0,6,9,2	✗ 6,9 ganda
836	9836	10672	9,8,3,6,1,0,6,7,2	✗ 6 ganda
768	9768	10536	9,7,6,8,1,0,5,3,6	✗ 6 ganda
687	9687	10374	9,6,8,7,1,0,3,7,4	✗ 7 ganda
678	9678	10356	9,6,7,8,1,0,3,5,6	✗ 6 ganda
764	9764	10528	9,7,6,4,1,0,5,2,8	✓ Semua unik!

Verifikasi

Pastikan perhitungan dan semua syarat terpenuhi:

$$9764 + 764 = 10528 \quad \checkmark$$

Bilangan	Nilai	Digit yang Digunakan
$\overline{rstu}$	9764	9 · 7 · 6 · 4
$\overline{stu}$	764	7 · 6 · 4
$\overline{vwxyz}$	10528	1 · 0 · 5 · 2 · 8

Digit yang digunakan: $\{0,\, 1,\, 2,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9\}$  , total 9 digit.
Digit yang tidak digunakan: $$A \setminus \{0,1,2,4,5,6,7,8,9\} = \{\mathbf{3}\}$$

Kesimpulan

B

Anggota $A$ yang tidak digunakan adalah

$\mathbf{3}$  →  Jawaban: B. 3

OSK SMP MTs 2024 · Matematika · Alternatif penyelesaian ini disusun untuk membantu murid memahami langkah-langkah penyelesaian secara runtut.