SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 10)

OSK SMP MTs · Matematika

Soal Nomor 10
Bilangan

Olimpiade Sains Kabupaten/Kota – Jenjang SMP/MTs/Sederajat

📋

Soal Pilihan Ganda

Diketahui a, b, dan c adalah bilangan ratusan yang satuannya sama dengan ratusannya.

Jika  b = 2a + 1  dan  c = 2b + 1, maka banyaknya kemungkinan tripel (a, b, c) yang berbeda adalah ....

A

1

B

2 ✔

C

3

D

4

✏️

Alternatif Penyelesaian

📌

Memahami Syarat "Bilangan Ratusan yang Satuannya Sama dengan Ratusannya"

Bilangan ratusan adalah bilangan yang terdiri dari 3 angka, yaitu mulai dari 100 sampai 999. Setiap bilangan 3 angka memiliki posisi seperti ini:

Bentuk Umum Ratusan – Puluhan – Satuan
Syarat soal: angka satuan = angka ratusan

Berikut contoh bilangan yang memenuhi dan tidak memenuhi syarat tersebut:

Bilangan	Angka Ratusan	Angka Puluhan	Angka Satuan	Memenuhi Syarat?
121	1	2	1	✔ Ya
252	2	5	2	✔ Ya
363	3	6	3	✔ Ya
123	1	2	3	✘ Tidak

Jadi, bentuk umum bilangan yang memenuhi syarat tersebut dapat dituliskan sebagai:
  a = 101p + 10q, dengan p = angka ratusan (1–9) dan q = angka puluhan (0–9).

---

1

Menentukan Rentang Nilai a

Karena a, b, dan c semuanya harus berupa bilangan ratusan (100–999), dan berlaku:

b = 2a + 1 c = 2b + 1 = 2(2a + 1) + 1 = 4a + 3

Agar c ≤ 999:

4a + 3 ≤ 999 4a ≤ 996 a ≤ 249

Agar c ≥ 100:

4a + 3 ≥ 100 4a ≥ 97 a ≥ 24,25 → a ≥ 25 (karena a bilangan bulat)

b ≤ 999 juga terpenuhi karena a ≤ 249.

Kesimpulan Rentang Nilai a harus memenuhi:  25 ≤ a ≤ 249

---

2

Menerapkan Syarat Bentuk Bilangan pada a

Nilai a harus berbentuk 101p + 10q (angka satuan = angka ratusan = p). Karena a ≤ 249, maka nilai p hanya bisa 1 atau 2.

Jika p = 1 → a = 101 + 10q, untuk q = 0,1,...,9:

a ∈ {101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191}
Semua nilai berada antara 101–191  ✔ Semua memenuhi 25 ≤ a ≤ 249

Jika p = 2 → a = 202 + 10q, untuk q = 0,1,...,9:

a ∈ {202, 212, 222, 232, 242, 252, ...}
Yang memenuhi a ≤ 249:  202, 212, 222, 232, 242  ✔

---

3

Memeriksa Syarat pada b dan c

Nilai b dan c juga harus memenuhi syarat yang sama, yaitu bilangan ratusan dengan angka satuan = angka ratusan. Mari kita periksa satu per satu:

a	b = 2a+1	Syarat b (sat=rat)?	c = 2b+1	Syarat c (sat=rat)?	Valid?
101	203	✘ 2≠3	—	—	✘
111	223	✘ 2≠3	—	—	✘
121	243	✘ 2≠3	—	—	✘
131	263	✘ 2≠3	—	—	✘
141	283	✘ 2≠3	—	—	✘
151	303	✔ 3=3	607	✘ 6≠7	✘
161	323	✔ 3=3	647	✘ 6≠7	✘
171	343	✔ 3=3	687	✘ 6≠7	✘
181	363	✔ 3=3	727	✔ 7=7	✔
191	383	✔ 3=3	767	✔ 7=7	✔
202	405	✘ 4≠5	—	—	✘
212	425	✘ 4≠5	—	—	✘
222	445	✘ 4≠5	—	—	✘
232	465	✘ 4≠5	—	—	✘
242	485	✘ 4≠5	—	—	✘

---

4

Rekap Tripel yang Memenuhi Semua Syarat

Dari pemeriksaan tersebut, hanya ada 2 tripel yang memenuhi seluruh syarat:

No.	a	b = 2a + 1	c = 2b + 1	Tripel (a, b, c)
1	181	363	727	(181, 363, 727)
2	191	383	767	(191, 383, 767)

🏆

Jawaban yang Benar

Terdapat 2 tripel berbeda yang memenuhi semua syarat,
yaitu (181, 363, 727) dan (191, 383, 767).

B

OSK SMP MTs Matematika 2024 · Alternatif Penyelesaian