PERCEPATAN MATERI TKA MATEMATIKA SMP MTs TRANSFORMASI GEOMETRI 3 (5 SOAL)

TKA Matematika SMP / MTs

Transformasi Geometri 3

Ringkasan Materi & Alternatif Penyelesaian Soal — 5 Soal Pilihan

Rotasi 90° searah jarum jam: (x, y) → (y, −x)

Refleksi terhadap sumbu X: (x, y) → (x, −y)

Translasi T(a, b): (x, y) → (x + a, y + b)

Dilatasi [O(0, 0), k]: (x, y) → (kx, ky)

1

Rotasi Garis 90° Searah Jarum Jam

Transformasi garis menggunakan rotasi terhadap pusat O(0, 0)

Rotasi

Soal

Garis 2x + 3y − 10 = 0 diputar sejauh 90° searah jarum jam dengan pusat rotasi O(0, 0). Persamaan garis hasil rotasi adalah ....

A.  2x − 3y − 10 = 0

B.  2x − 3y + 10 = 0

C.  3x − 2y − 10 = 0

D.  3x + 2y − 10 = 0

Materi Singkat

Rotasi 90° searah jarum jam terhadap O(0, 0) mengubah titik (x, y) menjadi (y, −x). Untuk menemukan persamaan garis hasil rotasi, kita balik prosesnya: jika titik baru adalah (x', y'), maka titik lamanya adalah (−y', x').

Rumus Kunci

Rotasi 90° searah jarum jam: (x, y) → (y, −x)

Kebalikan: x_lama = −y', y_lama = x'

Langkah Penyelesaian

1

Garis asal: 2x + 3y − 10 = 0

2

Titik baru (x', y') berasal dari titik lama (−y', x'). Substitusikan: x = −y' dan y = x'

3

2(−y') + 3(x') − 10 = 0
−2y' + 3x' − 10 = 0
→ 3x − 2y − 10 = 0

Jawaban C 3x − 2y − 10 = 0

2

Refleksi + Translasi Berurutan

Dua transformasi berurutan pada sebuah titik

Refleksi & Translasi

Soal

Titik A(7, −3) direfleksikan terhadap sumbu X menghasilkan bayangan titik A'. Titik A' ditranslasikan oleh T(5, −1) menghasilkan bayangan titik A''. Koordinat titik A'' adalah ....

A.  (12, −4)

B.  (12, 2)

C.  (−2, −4)

D.  (−2, 2)

Materi Singkat

Transformasi berurutan artinya hasil transformasi pertama menjadi titik awal transformasi berikutnya. Refleksi terhadap sumbu X hanya mengubah tanda nilai y, sedangkan x tetap. Translasi menjumlahkan koordinat dengan vektor atau komponen translasi.

Rumus Kunci

Refleksi terhadap sumbu X: (x, y) → (x, −y)

Translasi T(a, b): (x, y) → (x + a, y + b)

Langkah Penyelesaian

1

Refleksi A(7, −3) terhadap sumbu X:
A(7, −3) → A'(7, 3)
→ nilai x tetap, y berubah tanda

2

Translasi A'(7, 3) oleh T(5, −1):
A''(7 + 5, 3 + (−1)) = A''(12, 2)

Alur Singkat

A(7, −3) → Refleksi terhadap sumbu X → A'(7, 3) → Translasi T(5, −1) → A''(12, 2)

Jawaban B A''(12, 2)

3

Koordinat Bayangan Dilatasi (Faktor skala, k = 2)

Menentukan bayangan titik-titik belah ketupat setelah dilatasi

Dilatasi

Soal

Bangun ABCD merupakan belah ketupat. Bangun ABCD didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 2 sehingga menghasilkan bayangan bangun A'B'C'D'. Berdasarkan informasi tersebut, pilihlah semua jawaban yang benar. Jawaban benar lebih dari satu.

☐  Koordinat bayangan titik A adalah A'(−4, −2)

☐  Koordinat bayangan titik B adalah B'(−2, −2)

☑  Koordinat bayangan titik C adalah C'(8, 2)

☑  Koordinat bayangan titik D adalah D'(2, 6)

Materi Singkat

Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k mengalikan setiap koordinat dengan k. Semakin besar k, semakin jauh titik dari pusat. Jika k = 2, setiap jarak titik ke pusat menjadi dua kali lipat.

Rumus Kunci

Dilatasi [O(0, 0), k]: (x, y) → (kx, ky)

Penyelesaian — Koordinat dari Grafik

Titik	Koordinat Asal	× k = 2	Bayangan	Keterangan
A	(−2, 1)	× 2	A'(−4, 2)	✗ Salah pilihan tertulis (−4,−2)
B	(−1, −2)	× 2	B'(−2, −4)	✗ Salah pilihan tertulis (−2,−2)
C	(4, 1)	× 2	C'(8, 2)	✓ Benar
D	(1, 3)	× 2	D'(2, 6)	✓ Benar

Jawaban Pernyataan ketiga dan keempat benar

4

Sifat Dilatasi — Benar atau Salah

Pengaruh dilatasi terhadap panjang, luas, dan keliling

Sifat Dilatasi

Soal

Berdasarkan informasi pada soal nomor 3, tentukan Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut:

Materi Singkat

Dilatasi dengan faktor skala k mengubah ukuran bangun secara proporsional. Panjang sisi (dan diagonal) dikali k, keliling dikali k, sedangkan luas dikali k² (karena luas adalah hasil kali dua dimensi).

Rumus Sifat Dilatasi k = 2

Panjang/Diagonal → × k = × 2

Luas → × k² = × 4

Keliling → × k = × 2

Analisis Setiap Pernyataan

Pernyataan	Analisis	Verdict
Panjang diagonal bayangan belah ketupat empat kali panjang diagonal bidang asalnya.	k = 2, jadi diagonal × 2, bukan × 4	✗ Salah
Luas bidang asal belah ketupat seperempat luas bayangannya.	Luas bayangan = k² × luas asal = 4 × luas asal → luas asal = ¼ luas bayangan ✓	✓ Benar
Keliling bayangan belah ketupat dua kali bidang asalnya.	Keliling dikali k = 2, sesuai pernyataan ✓	✓ Benar

Jawaban Salah — Benar — Benar

5

Mencari Persamaan Garis Sebelum Translasi

Translasi garis — bekerja mundur dari bayangan

Translasi Garis

Soal

Garis ℓ memiliki bayangan garis 4x − 5y + 15 = 0 setelah ditranslasi sejauh T(−3, 2). Persamaan garis ℓ adalah ....

A.  4x − 5y + 7 = 0

B.  4x − 5y − 7 = 0

C.  5x − 4y + 15 = 0

D.  5x − 4y − 7 = 0

Materi Singkat

Jika garis ℓ ditranslasi T(a, b), maka setiap titik (x, y) di garis ℓ berpindah ke (x + a, y + b). Untuk mencari persamaan garis ℓ dari bayangannya, kita substitusikan x = x' − a dan y = y' − b ke persamaan bayangan.

Rumus Kunci

T(a, b): titik asal = (x' − a, y' − b)

T(−3, 2): x_asal = x' + 3 , y_asal = y' − 2

Langkah Penyelesaian

1

Titik (x, y) di garis ℓ berpindah ke (x − 3, y + 2). Jika titik bayangan = (x', y'), maka titik asalnya:
x = x' + 3 → x' = x - 3    dan    y = y' − 2 → y' = y + 2

2

Substitusi ke persamaan bayangan 4x' − 5y' + 15 = 0:
4(x - 3) − 5(y + 2) + 15 = 0

3

Sederhanakan:
4x - 12 − 5y − 10 + 15 = 0
4x − 5y - 7 = 0 

Jawaban B 4x − 5y − 7 = 0

★ Tabel Rumus Transformasi Geometri

Refleksi terhadap sumbu X

(x, y) → (x, −y)

Refleksi terhadap sumbu Y

(x, y) → (−x, y)

Refleksi y = x

(x, y) → (y, x)

Refleksi y = −x

(x, y) → (−y, −x)

Rotasi 90° CW (searah jarum jam)

(x, y) → (y, −x)

Rotasi 90° CCW (berlawanan)

(x, y) → (−y, x)

Rotasi 180°

(x, y) → (−x, −y)

Translasi T(a, b)

(x, y) → (x + a, y + b)

Dilatasi pusat O(0, 0), faktor skala k

(x, y) → (kx, ky)

Dilatasi — luas bayangan

Luas' = k² × Luas

Dilatasi — keliling bayangan

Keliling' = k × Keliling

Translasi garis dengan komponen T = (a, b) — cari asal

sub x'= x + a, y'= y + b ke bayangan