Let m and n be square numbers.
If m − n is a prime number, then n possible numbers are ....
(Pilihan Ganda)
A. 729
B. 961
C. 1849
D. 2704
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Terjemahan soal dalam bahasa Indonesia:
Misalkan m dan n adalah bilangan kuadrat.
Jika m − n adalah bilangan prima, maka bilangan n yang mungkin adalah ....
Langkah 1: Menerjemahkan Syarat ke Persamaan Matematika
Diberikan:
1. m adalah bilangan kuadrat (m = a²)
2. n adalah bilangan kuadrat (n = b²)
3. m dan n adalah bilangan bulat positif
4. m − n adalah bilangan prima p
Dari syarat (1), (2), dan (4), kita dapat menulis persamaan:
m − n = p
⇔ a² − b² = p
Gunakan rumus selisih kuadrat:
⇔ (a − b)(a + b) = p
Langkah 2: Menganalisis Faktorisasi Bilangan Prima
Karena p adalah bilangan prima, ia hanya memiliki dua faktor positif, yaitu 1 dan p itu sendiri.
Karena m > n (agar m − n positif), maka a² > b², dan karena a dan b positif, maka a > b.
Oleh karena itu, faktor (a + b) harus lebih besar dari faktor (a − b).
Berarti:
a − b = 1 (Persamaan 1)
dan
a + b = p (Persamaan 2)
Langkah 3: Menyelesaikan Sistem Persamaan
Kita memiliki sistem persamaan linear dalam a dan b.
Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
(a − b) + (a + b) = 1 + p
⇔ a − b + a + b = 1 + p
⇔ a + a − b + b = p + 1
⇔ 2a = p + 1
⇔ 2a : 2 = (p + 1) : 2
⇔ a = (p + 1) : 2
Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(a + b) − (a − b) = p − 1
⇔ a + b − a + b = p − 1
⇔ a − a + b + b = p − 1
⇔ 2b = p − 1
⇔ 2b : 2 = (p − 1) : 2
⇔ b = (p − 1) : 2
Karena a dan b harus berupa bilangan bulat (m dan n adalah kuadrat dari bilangan bulat), maka p + 1 dan p − 1 haruslah bilangan genap.
Berarti p harus bilangan prima ganjil.
Jika p = 2, maka p −1 = 1 (ganjil).
Berarti b bukan bilangan bulat.
Jadi, p tidak mungkin 2.
Semua bilangan prima selain 2 adalah ganjil.
Langkah 4: Mencari Nilai n yang Mungkin
Kita diminta untuk mencari nilai n.
Ingat bahwa n = b², dan b = (p − 1) : 2
Kita akan menguji pilihan jawaban yang diberikan, di mana setiap pilihan adalah nilai n yang mungkin.
Cek Pilihan Jawaban:
A. n = 729
n = b²
⇔ b² = 729
⇔ b = 27
Gunakan b = (p − 1) : 2
⇔ 27 = (p − 1) : 2
⇔ p − 1 = 54
⇔ p − 1 + 1 = 54 + 1
⇔ p = 55
p = 55 bukan bilangan prima (55 = 5× 11) (Tidak Memenuhi).
B. n = 961
n = b²
⇔ b² = 961
⇔ b = 31
Gunakan b = (p − 1) : 2
⇔ 31 = (p − 1) : 2
⇔ p − 1 = 62
⇔ p − 1 + 1 = 62 + 1
⇔ p = 63
p = 63 bukan bilangan prima (63 = 3² × 7) (Tidak Memenuhi).
C. n = 1849
n = b²
⇔ b² = 1849
⇔ b = 43
Gunakan b = (p − 1) : 2
⇔ 43 = (p − 1) : 2
⇔ p − 1 = 86
⇔ p − 1 + 1 = 86 + 1
⇔ p = 87
p = 87 bukan bilangan prima (87 = 3 × 29) (Tidak Memenuhi).
D. n = 2704
n = b²
⇔ b² = 2704
⇔ b = 52
Gunakan b = (p − 1) : 2
⇔ 52 = (p − 1) : 2
⇔ p − 1 = 104
⇔ p − 1 + 1 = 104 + 1
⇔ p = 105
p = 105 bukan bilangan prima (105 = 3 × 5 × 7) (Tidak Memenuhi).
KESIMPULAN:
Tidak ada jawaban yang valid di antara pilihan A, B, C, dan D.