SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) TINGKAT PROVINSI DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART R)

Let m and n be square numbers.

If m − n is a prime number, then n possible numbers are ....

(Pilihan Ganda)

A. 729

B. 961

C. 1849

D. 2704

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Terjemahan soal dalam bahasa Indonesia:

Misalkan m dan n adalah bilangan kuadrat.

Jika m − n adalah bilangan prima, maka bilangan n yang mungkin adalah ....

Langkah 1: Menerjemahkan Syarat ke Persamaan Matematika

Diberikan:

1. m adalah bilangan kuadrat (m = a²)

2. n adalah bilangan kuadrat (n = b²) 

3. m dan n adalah bilangan bulat positif

4. m − n adalah bilangan prima p

Dari syarat (1), (2), dan (4), kita dapat menulis persamaan:

m − n = p

⇔ a² − b² = p

Gunakan rumus selisih kuadrat:

⇔ (a − b)(a + b) = p

Langkah 2: Menganalisis Faktorisasi Bilangan Prima

Karena p adalah bilangan prima, ia hanya memiliki dua faktor positif, yaitu 1 dan p itu sendiri.

Karena m > n (agar m − n positif), maka a² > b², dan karena a dan b positif, maka a > b.

Oleh karena itu, faktor (a + b) harus lebih besar dari faktor (a − b).

Berarti:

a − b = 1 (Persamaan 1)

dan

a + b = p (Persamaan 2) 

Langkah 3: Menyelesaikan Sistem Persamaan

Kita memiliki sistem persamaan linear dalam a dan b.

Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:

(a − b) + (a + b) = 1 + p

⇔ a − b + a + b = 1 + p

⇔ a + a − b + b = p + 1

⇔ 2a = p + 1

⇔ 2a : 2 = (p + 1) : 2

⇔ a = (p + 1) : 2 

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:

(a + b) − (a − b) = p − 1

⇔ a + b − a + b = p − 1

⇔ a − a + b + b = p − 1

⇔ 2b = p − 1

⇔ 2b : 2 = (p − 1) : 2

⇔ b = (p − 1) : 2 

Karena a dan b harus berupa bilangan bulat (m dan n adalah kuadrat dari bilangan bulat), maka p + 1 dan p − 1 haruslah bilangan genap.

Berarti p harus bilangan prima ganjil.

Jika p = 2, maka p −1 = 1 (ganjil). 

Berarti b bukan bilangan bulat.

Jadi, p tidak mungkin 2.

Semua bilangan prima selain 2 adalah ganjil.

Langkah 4: Mencari Nilai n yang Mungkin

Kita diminta untuk mencari nilai n.

Ingat bahwa n = b², dan b = (p − 1) : 2

Kita akan menguji pilihan jawaban yang diberikan, di mana setiap pilihan adalah nilai n yang mungkin.

Cek Pilihan Jawaban:

A. n = 729

     n = b²

     ⇔ b² = 729

     ⇔ b = 27

     Gunakan b = (p − 1) : 2

     ⇔ 27 = (p − 1) : 2

     ⇔ p − 1 = 54

     ⇔ p − 1 + 1 = 54 + 1

     ⇔ p = 55

     p = 55 bukan bilangan prima (55 = 5× 11) (Tidak Memenuhi).

B. n = 961 

     n = b²

     ⇔ b² = 961

     ⇔ b = 31

     Gunakan b = (p − 1) : 2

     ⇔ 31 = (p − 1) : 2

     ⇔ p − 1 = 62

     ⇔ p − 1 + 1 = 62 + 1

     ⇔ p = 63

     p = 63 bukan bilangan prima (63 = 3² × 7) (Tidak Memenuhi).

C. n = 1849 

     n = b²

     ⇔ b² = 1849

     ⇔ b = 43

     Gunakan b = (p − 1) : 2

     ⇔ 43 = (p − 1) : 2

     ⇔ p − 1 = 86

     ⇔ p − 1 + 1 = 86 + 1

     ⇔ p = 87

     p = 87 bukan bilangan prima (87 = 3 × 29) (Tidak Memenuhi).

D. n = 2704

    n = b²

     ⇔ b² = 2704

     ⇔ b = 52

     Gunakan b = (p − 1) : 2

     ⇔ 52 = (p − 1) : 2

     ⇔ p − 1 = 104

     ⇔ p − 1 + 1 = 104 + 1

     ⇔ p = 105

     p = 105 bukan bilangan prima (105 = 3 × 5 × 7) (Tidak Memenuhi).

KESIMPULAN:

Tidak ada jawaban yang valid di antara pilihan A, B, C, dan D.