SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) TINGKAT PROVINSI DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART L)

Misalkan k adalah banyak putra Nabi Muhammad SAW.

Banyak semua faktor dari [2022³ + (k × 2022 × 2023) + 1]² adalah .…

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Langkah 1: Menentukan nilai k

Nabi Muhammad SAW memiliki putra kandung:

1. Qasim

2. Abdullah

3. Ibrahim

Nilai k = 3.

Langkah 2: Menyederhanakan ekspresi

Ekspresi:

N = [2022³ + (3 × 2022 × 2023) + 1]²

Perhatikan bahwa 

2023 = 2022 + 1

Sehingga

3 × 2022 × 2023

= 3 × 2022 × (2022 + 1)

= 3 × 2022 × 2022 + 3 × 2022 × 1

= 3 × 2022² + 3 × 2022

= 3⋅2022² + 3⋅2022

Dengan demikian

N = [2022³ + 3⋅2022² + 3⋅2022 + 1]²

Bentuk dalam kurung sesuai dengan

(a + 1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1

Dengan a = 2022,

Sehingga

2022³ + 3⋅2022² + 3⋅2022 + 1

= (2022 + 1)³

= 2023³

Dengan demikian

N = (2023³)²

⇔ N = 2023⁶

Langkah 3: Memfaktorkan 2023

2023 = 7 × 17 × 17

Sehingga

2023 = 7 × 17²

Langkah 4: Faktorisasi N

N = (7 × 17²)⁶

⇔ N = 7⁶ × 17¹²

Langkah 5: Menghitung banyak faktor

Banyak faktor dari N = 7⁶ × 17¹² adalah

(6 + 1) × (12 + 1)

= 7 × 13

= 91

Karena ada bilangan bulat negatif, banyak semua faktor adalah

2 × 91 = 182.

Jawaban: 182​