SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) TINGKAT PROVINSI DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART N)

Perhatikan sistem persamaan berikut.

Jika solusi dari sistem persamaan tersebut merupakan bilangan non-negatif, maka nilai dari x + y + z adalah ....

(Pilihan Ganda)

A. 1

B. 4

C. 8

D. 12

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Analisis Soal

Soal tersebut meminta kita untuk mencari nilai dari x + y + z dengan kondisi bahwa solusi dari sistem persamaan berikut adalah bilangan non-negatif.

Sistem Persamaan:

Langkah 1: Substitusi Persamaan

Dari persamaan (3):

Substitusikan x ke persamaan (1):

Sederhanakan pecahan:

Substitusikan y ke persamaan (2):

Sederhanakan pecahan:

Langkah 2: Menyelesaikan Persamaan untuk z

Bagi persamaan dengan 13, sehingga terbentuk persamaan lebih sederhana yang ekuivalen dengan persamaan tersebut, yaitu

z² − 3z − 4 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut, menjadi

(z + 1)(z − 4) = 0

Pemfaktoran tersebut memberikan dua kemungkinan nilai untuk z, yaitu

z = −1 atau z = 4

Langkah 3: Menentukan Nilai x, y, dan z yang Memenuhi Syarat

Syarat dalam soal adalah x, y, dan z harus merupakan bilangan non-negatif.

Kasus 1: z = −1

Jika kita menggunakan z = −1, maka syarat non-negatif tidak terpenuhi. Oleh karena itu, kita abaikan kasus ini.

Kasus 2: z = 4

Memenuhi syarat non-negatif.

Mencari nilai x menggunakan persamaan (3):

Mencari nilai y menggunakan persamaan (1):

Jadi, solusi non-negatif yang memenuhi sistem persamaan adalah x = 4, y = 4,  dan z = 4.

Langkah 4: Menghitung Nilai x + y + z

Nilai yang diminta adalah x + y + z

x + y + z

= 4 + 4 + 4

= 12

Jadi, nilai dari x + y + z adalah 12.