SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) TINGKAT PROVINSI DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART M)

Misalkan n adalah banyak Asmaul Husna. Jika k, l, dan m adalah bilangan real positif sedemikian hingga

km + m + k = kl + k + l = lm + l + m = n,

maka nilai dari (k + 1)(l + 1)(m + 1) adalah ….

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Analisis Masalah

Soal ini berkaitan dengan sistem persamaan yang melibatkan tiga bilangan real positif k, l, dan m.

Informasi yang Diberikan

n = banyak Asmaul Husna

Sistem persamaan

km + m + k = kl + k + l = lm + l + m = n

k, l, dan m adalah bilangan real positif.

Ditanyakan: nilai dari (k + 1)(l + 1)(m + 1) = ...?

Langkah Penyelesaian

1. Menentukan Nilai n

Banyaknya Asmaul Husna adalah 99.

Nilai n = 99.

2. Menyederhanakan Sistem Persamaan

Sistem persamaan yang diberikan adalah

km + m + k = 99 (Persamaan 1)

kl + k + l = 99 (Persamaan 2)

lm + l + m = 99 (Persamaan 3)

Kita tahu bahwa

(k + 1)(m + 1) = km + k + m + 1

Dari Persamaan 1, kita punya km + m + k = 99

Substitusikan ke dalam ekspresi (k + 1)(m + 1)

(k + 1)(m + 1) = (km + m + k) + 1

⇔ (k + 1)(m + 1) = 99 + 1

⇔ (k + 1)(m + 1) = 100 (Persamaan 4)

Dengan cara yang sama, untuk Persamaan 2 dan Persamaan 3:

(k + 1)(l + 1) = (kl + k + l) + 1

⇔ (k + 1)(l + 1) = 99 + 1

⇔ (k + 1)(l + 1) = 100 (Persamaan 5)

(l + 1)(m + 1) = (lm + l + m) + 1

⇔ (l + 1)(m + 1) = 99 + 1

⇔ (l + 1)(m + 1) = 100 (Persamaan 6)

3. Menghitung Nilai Ekspresi yang Ditanyakan

Ekspresi yang ditanyakan adalah nilai dari (k + 1)(l + 1)(m + 1)

Kita dapat mengalikan ketiga persamaan yang kita dapatkan, yaitu Persamaan 4, Persamaan 5, dan Persamaan 6

(k + 1)(m + 1) × (k + 1)(l + 1) × (l + 1)(m + 1) = 100 × 100 × 100

Susun ulang suku-suku di ruas kiri

[(k + 1)(l + 1)(m + 1)]² = 100³

Misalkan E = (k + 1)(l + 1)(m + 1)

E² =100³

⇔ E² = (10²)³ 

⇔ E² = (10³)²

⇔ E = 10³ 

⇔ E = 1000

Jadi, nilai dari (k + 1)(l + 1)(m + 1) adalah 1000.