SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) TINGKAT PROVINSI DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART H)

Jika (s, m) merupakan titik puncak grafik fungsi f(x) = kx² + kx − 5k + 8, dengan f(k) = 29, maka nilai dari 20k + 2s + 16m = .…

(Pilihan Ganda)

A. −65

B. −64

C. −13

D. 0

ALTERNATIF PENYELESAIAN:

Analisis Masalah

Soal tersebut berkaitan dengan fungsi kuadrat dan titik puncaknya. Kita perlu menemukan nilai dari ekspresi 20k + 2s + 16m setelah menentukan nilai k, s, dan m dari informasi yang diberikan.

Informasi yang Diberikan

Fungsi kuadrat:

f(x) = kx² + kx − 5k + 8

Titik puncak grafik adalah (s, m)

f(k) = 29

Langkah Penyelesaian

1. Menentukan Nilai k

Gunakan informasi f(k) = 29 untuk mencari nilai k.

Substitusikan x = k ke dalam fungsi f(x):

f(k) = 29

⇔ k(k)² + k(k) − 5k + 8 = 29

⇔ k³ + k² − 5k + 8 = 29

⇔ k³ + k² − 5k + 8 − 29 = 29 − 29

⇔ k³ + k² − 5k − 21 = 0

Untuk menemukan nilai k, kita bisa mencoba nilai-nilai bilangan bulat yang mungkin.

Jika k = 1, maka 1 + 1 − 5 −21 = −24 ≠ 0

Jika k = 2, maka 8 + 4 − 10 − 21 = −19 ≠ 0

Jika k = 3, maka 27 + 9 − 15 − 21 = 0

Jadi, nilai k = 3 adalah akar dari persamaan tersebut.

2. Menemukan Titik Puncak (s, m)

Titik puncak (s, m) dari fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat ditemukan dengan rumus:

s = −b : 2a 

m = f(s)

Dalam fungsi

f(x) = kx² + kx − 5k + 8

a = k

b = k

c = −5k + 8

Substitusikan nilai k = 3 ke dalam fungsi:

f(x) =3x² + 3x − 5(3) + 8

⇔ f(x) = 3x² + 3x − 15 + 8

⇔ f(x) = 3x² + 3x − 7

Sekarang, kita cari nilai s dan m:

s = −b : 2a 

⇔ s = −3 : 2(3)

⇔ s = −3 : 6

⇔ s = −½ 

⇔ s = −0,5

m = f(s)

⇔ m = f(−0,5)

⇔ m = 3(−0,5)² + 3(−0,5) − 7

⇔ m = 3(0,25) − 1,5 − 7

⇔ m = 0,75 − 1,5 − 7

⇔ m = −7,75​

​Jadi, kita punya nilai k = 3, s =−0,5, dan m = −7,75 

3. Menghitung Nilai Akhir

Sekarang, substitusikan semua nilai yang telah ditemukan ke dalam ekspresi yang diminta:

20k + 2s + 16m

= 20(3) + 2(−0,5) +16(−7,75) 

= 60 − 1 − 124

= 59 − 124

= −65

Jadi, nilai dari 20k + 2s + 16m = −65

(Pilihan jawaban A benar)