SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2025 DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (TINGKAT KOTA/KABUPATEN PART N)

Suatu bidang empat T.ABC memiliki bidang sisi segitiga TBC, TBA, dan ABC yang masing-masing saling tegak lurus seperti pada gambar berikut.

Jika Luas TBC : Luas TBA : Luas ABC = 1 : 2 : 3 dan ukuran panjang AC = 10 cm, maka volume bidang empat T.ABC sama dengan … cm³.

(Pilihan Ganda)

A.

B.

C.

D.

Alternatif Penyelesaian:

Perhatikan gambar berikut!

Misalkan BC = 𝑎, BT = 𝑏, dan AB = 𝑐.

Diketahui

Luas TBC : Luas TBA : Luas ABC = 1 : 2 : 3

  ⇔ 𝑎𝑏 ∶ 𝑏𝑐 ∶ 𝑎𝑐 = 1 ∶ 2 ∶ 3

𝑏𝑐 ∶ 𝑎𝑐 = 2 : 3

⇔ 𝑏 ∶ 𝑎 = 2 : 3

⇔ 𝑎 ∶ 𝑏 = 3 : 2

𝑎𝑏 ∶ 𝑎𝑐 = 1 ∶ 3

⇔ 𝑏 ∶ 𝑐 = 1 ∶ 3

Sehingga

𝑎 ∶ 𝑏 ∶ 𝑐 = 3 ∶ 2 ∶ 6

Misalkan 𝑎 = 3𝑛, 𝑏 = 2𝑛, dan 𝑐 = 6𝑛, untuk suatu bilangan positif 𝑛, dan karena segitiga ABC siku-siku di B, berlaku rumus Pythagoras

𝑎² + 𝑐² = 10²

  ⇔ (3𝑛)² + (6𝑛)² = 10²

  ⇔ 9𝑛² + 36𝑛² = 100

  ⇔ 45𝑛² = 100

  ⇔ 45𝑛² : 45 = 100 : 45

  ⇔ 𝑛² = 100 : 45

  ⇔ 𝑛² = (100 : 5) : (45 : 5)

  ⇔ 𝑛² = 20 : 9

Karena 𝑛 suatu bilangan positif, sehingga

Volume T.ABC 

   = ⅓ × luas alas × tinggi

   = ⅓ × luas ABC × BT

   = ⅓ × ½ × 𝑎 × 𝑐 × 𝑏

   = ⅓ × ½ × 3𝑛 × 6𝑛 × 2𝑛

   = 𝑛 × 6𝑛 × 𝑛

   = 6𝑛³

(Pilihan jawaban A benar)