SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2021 DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (TINGKAT KOTA/KABUPATEN PART C)

Diketahui xy = 15 dan (2x − y)⁴ = 1. Misalkan z adalah jumlah dari kuadrat semua nilai y yang mungkin, maka z = ....

A. 0

B. 30,5

C. 100

D.122

Alternatif Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

(2x − y)⁴ = 1

⇔ (2x − y)² (2x − y)² = 1

⇔ (2x − y)² = 1 ∨ (2x − y)² = −1

Karena nilai kuadrat selalu positif, sehingga yang memenuhi adalah 

(2x − y)² = 1.

Selanjutnya

(2x − y)² = 1

⇔ (2x − y)(2x − y) = 1

⇔ 2x − y = 1 ∨ 2x − y = −1

• Untuk 2x − y = 1

   2x − y = 1

   ⇔ 2x − y + y = 1 + y

   ⇔ 2x = y + 1

   dan

   xy = 15

   ⇔ (y + 6)(y − 5) = 0

   ⇔ y + 6 = 0 ∨ y − 5 = 0

   ⇔ y + 6 − 6 = 0 − 6 ∨ y − 5 + 5 = 0 + 5

   ⇔ y = −6 ∨ y = 5

• Untuk 2x − y = −1

   2x − y = −1

   ⇔ 2x − y + y = −1 + y

   ⇔ 2x = y − 1

   dan

   xy = 15

   ⇔ y² − y = 30

   ⇔ y² − y − 30 = 30 − 30

   ⇔ y² − y − 30 = 0

   ⇔ (y + 5)(y − 6) = 0

   ⇔ y + 5 = 0 ∨ y − 6 = 0

   ⇔ y + 5 − 5 = 0 − 5 ∨ y − 6 + 6 = 0 + 6

   ⇔ y = −5 ∨ y = 6

Diperoleh

z = (−6)² + 5² + (−5)² + 6²

   = 36 + 25 + 25 + 36

   = 122.

Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah D.