SOAL OSN TINGKAT PROVINSI 2025 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 2)

🔥 DERET GEOMETRI TAK HINGGA: TEKA-TEKI SUKU GENAP YANG BIKIN PENASARAN!

Kali ini kita akan membedah salah satu soal deret geometri tak hingga yang sering muncul di ujian maupun olimpiade tingkat SMA/MA. Soalnya terlihat rumit di awal, tetapi jika kita pahami konsep dasarnya, penyelesaiannya justru elegan. Yuk simak stimulus soalnya berikut ini.

📌 Stimulus Soal: Misalkan u1, u2, u3, ... adalah barisan geometri yang memenuhi persamaan u2 + u4 + u6 + u8 + ⋯ = 31  dan   u1 + u2u1 = 149

❓ Pertanyaan Soal: Nilai u1 + u2 + u3 + u4 + ⋯ = ...

✏️ Alternatif Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal tersebut, murid perlu mengingat kembali dua konsep utama barisan dan deret geometri tak hingga, yaitu bentuk umum suku ke-n dan rumus jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen. Mari kita selesaikan langkah demi langkah.

Langkah 1 — Menetapkan Notasi Misalkan suku pertama u1 = a dan rasio barisan geometri = r, sehingga un = a·rn−1. Dengan demikian: u2u1  =  a·ra  =  r

Langkah 2 — Mengolah Persamaan Kedua Persamaan u1 + (u2⁄u1) = 149 berubah menjadi: a + r = 149   ...(persamaan 1) Persamaan ini menunjukkan hubungan sederhana antara suku pertama dan rasio.

Langkah 3 — Mengenali Deret Suku Bernomor Genap Perhatikan bahwa u2, u4, u6, u8, ... juga membentuk barisan geometri tersendiri, dengan suku pertama u2 = a·r dan rasio r² (karena setiap suku "melompat" dua indeks). Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah S∞ = a₁⁄(1−r), sehingga: a·r1 − r²  =  31   ...(persamaan 2)

Langkah 4 — Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2 Dari persamaan 1, diperoleh a = 149 − r. Substitusikan ke persamaan 2: (149 − r)·r1 − r²  =  31 Ingat bentuk faktor selisih kuadrat 1 − r² = (1 − r)(1 + r), sehingga: (149 − r)·r = 31(1 − r)(1 + r) 149r − r² = 31 − 31r² 30r² + 149r − 31 = 0

Langkah 5 — Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Menggunakan rumus ABC pada 30r² + 149r − 31 = 0: r  =  −149 ± √(149² − 4·30·(−31))2 · 30  =  −149 ± √25.92160 Karena √25.921 = 161, diperoleh dua akar: r = 12⁄60 = 1⁄5   atau   r = −310⁄60 = −31⁄6 Syarat kekonvergenan deret geometri tak hingga adalah |r| < 1. Karena |−31⁄6| > 1, nilai ini ditolak. Jadi yang memenuhi hanyalah r = 1⁄5.

Langkah 6 — Mencari Nilai Suku Pertama Substitusikan r = 1⁄5 ke persamaan 1: a = 149 − 1⁄5 = (745 − 1)⁄5 = 744⁄5

Langkah 7 — Menghitung Jumlah Seluruh Suku S∞ Jumlah seluruh deret geometri tak hingga u1 + u2 + u3 + ⋯ dihitung dengan rumus S∞ = a⁄(1−r): S∞  =  744⁄51 − 1⁄5  =  744⁄54⁄5  =  744⁄4  =  186

✅ Jadi, nilai u1 + u2 + u3 + u4 + ⋯ = 186

Catatan untuk murid: kunci utama soal ini adalah mengenali bahwa suku-suku bernomor genap membentuk deret geometri baru dengan rasio r², lalu memanfaatkan syarat kekonvergenan |r| < 1 untuk menyaring akar yang valid. Latihan soal serupa dapat memperkuat pemahaman konsep deret geometri tak hingga untuk persiapan ujian maupun olimpiade matematika.