SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 10)

OSK SMA MA · 2024 · Matematika

Olimpiade Sains Nasional
Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah

Tingkat Kabupaten/Kota  ·  Bidang Matematika  ·  Tahun 2024

✎

Soal

Misalkan \(x, y\) bilangan real positif dengan \(x > y\).
Jika diketahui bahwa

\[x^2 + y^2 = \left(\frac{481}{240}\right) \cdot xy\]

maka  \(\dfrac{x+y}{x-y}\)  =  \(\ldots\)

✦

Alternatif Penyelesaian

💡 Ide Utama Misalkan \(t = \dfrac{x}{y}\), kemudian ubah seluruh persamaan ke dalam bentuk \(t\) sehingga masalah berubah menjadi persamaan kuadrat yang lebih sederhana.

1

Bagi Kedua Ruas dengan \(xy\)

Karena \(x\) dan \(y\) adalah bilangan real positif, maka \(xy \neq 0\). Kita dapat membagi kedua ruas persamaan dengan \(xy\):

\[\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{481}{240}\]

Pecah ruas kiri:

\[\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{481}{240}\]

2

Pemisalan \(t = \dfrac{x}{y}\)

Misalkan \(t = \dfrac{x}{y}\), maka \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{t}\). Persamaan menjadi:

\[t + \frac{1}{t} = \frac{481}{240}\]

Kalikan kedua ruas dengan \(t\):

\[t^2 + 1 = \frac{481}{240}\,t\]

Pindahkan semua ke ruas kiri, lalu kalikan dengan \(240\):

\[240t^2 - 481t + 240 = 0\]

3

Faktorkan Persamaan Kuadrat

Kita perlu memfaktorkan \(240t^2 - 481t + 240\). Cari dua bilangan yang hasil kalinya \(= 240 \times 240 = 57.600\) dan jumlahnya \(= -481\).

Perhatikan:   \(-256 + (-225) = -481\)   dan   \(-256 \times (-225) = 57.600\)   ✓
sehingga kita "belah" koefisien tengah: \(-481t = -256t - 225t\).

\[240t^2 - 256t - 225t + 240 = 0\]

Kelompokkan dua-dua:

\[16t\,(15t - 16) - 15\,(15t - 16) = 0\]

\[(16t - 15)\,(15t - 16) = 0\]

---

Diperoleh dua akar:

\[t = \frac{15}{16} \quad \text{atau} \quad t = \frac{16}{15}\]

Karena \(x > y > 0\), sehingga, \(\dfrac{x}{y} > 1\). Nilai \(t = \dfrac{15}{16} < 1\) tidak memenuhi syarat, sehingga ditolak.

Dipilih \(t = \dfrac{16}{15}\) karena \(\dfrac{16}{15} > 1\). ✓

4

Hitung \(\dfrac{x+y}{x-y}\)

Bagi pembilang dan penyebut dengan \(y\) (boleh karena \(y \neq 0\)):

\[\frac{x+y}{x-y} = \frac{\dfrac{x}{y}+1}{\dfrac{x}{y}-1} = \frac{t+1}{t-1}\]

Substitusikan \(t = \dfrac{16}{15}\):

\[\frac{\dfrac{16}{15}+1}{\dfrac{16}{15}-1} = \frac{\dfrac{16+15}{15}}{\dfrac{16-15}{15}} = \frac{\dfrac{31}{15}}{\dfrac{1}{15}} = 31\]

Jawaban

\(\dfrac{x+y}{x-y}\)  =  31

Materi: Aljabar  ·  OSK SMA MA 2024