SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 11)

OSK SMP MTs 2024

Olimpiade Sains Kota/Kabupaten — Matematika

Soal Nonor 11  ·  Topik: Aljabar

📝 Soal Pilihan Ganda

Nomor 11

Jika $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 18$ dan $x \neq 0$, maka nilai dari

$$x^7 + \dfrac{1}{x^7} + 7$$

adalah ….

• A 845
• B 850 ✓ Jawaban Benar
• C 855
• D 860

🔍 Alternatif Penyelesaian

🔑 Ide Kunci

Kita akan menggunakan identitas aljabar secara bertahap untuk menghubungkan nilai $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ yang sudah diketahui dengan ekspresi yang ditanyakan.

Dua rumus utama yang digunakan:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\Longrightarrow\; a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

1

Mencari nilai $x + \dfrac{1}{x}$

Gunakan rumus kubik dengan memisalkan $p = x + \dfrac{1}{x}$, sehingga:

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} \cdot \left(x + \dfrac{1}{x}\right)$

$p^3 = 18 + 3p$

$p^3 - 3p - 18 = 0$

Coba $p = 3$:  $3^3 - 3(3) - 18 = 27 - 9 - 18 = 0$  ✓

$x + \dfrac{1}{x} = 3$

2

Mencari nilai $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$

Kuadratkan hasil langkah 1, kemudian kurangi $2$:

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2$

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 7$

3

Mencari nilai $x^4 + \dfrac{1}{x^4}$

Kuadratkan hasil langkah 2, kemudian kurangi $2$:

$x^4 + \dfrac{1}{x^4} = \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2$

$x^4 + \dfrac{1}{x^4} = 47$

4

Mencari nilai $x^7 + \dfrac{1}{x^7}$

Gunakan trik perkalian: kalikan $\left(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\right)$ dengan $\left(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\right)$:

$\left(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\right)\!\left(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\right) = x^7 + \dfrac{1}{x^7} + x^{-1} + x$

$18 \times 47 = x^7 + \dfrac{1}{x^7} + \underbrace{\left(x + \dfrac{1}{x}\right)}_{=\,3}$

$846 = x^7 + \dfrac{1}{x^7} + 3$

$x^7 + \dfrac{1}{x^7} = 843$

5

Menghitung nilai akhir

Substitusikan hasil langkah 4 ke dalam ekspresi yang ditanyakan:

$x^7 + \dfrac{1}{x^7} + 7 = 843 + 7 = 850$

📋 Ringkasan Hasil

Langkah	Ekspresi	Nilai
Diketahui	$x^3 + \dfrac{1}{x^3}$	$18$
Langkah 1	$x + \dfrac{1}{x}$	$3$
Langkah 2	$x^2 + \dfrac{1}{x^2}$	$7$
Langkah 3	$x^4 + \dfrac{1}{x^4}$	$47$
Langkah 4	$x^7 + \dfrac{1}{x^7}$	$843$
Hasil Akhir	$x^7 + \dfrac{1}{x^7} + 7$	850

🏆

Jawaban Akhir

$x^7 + \dfrac{1}{x^7} + 7 = \mathbf{850}$  →  Pilihan B

B. 850