SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 12)

OSK · SMP MTs · Matematika · 2024

Olimpiade Sains Kota/Kabupaten
Tingkat SMP/MTs

📝

Soal

Diketahui persamaan:

\( x^4 + ax^3 + 54x^2 - 108x + 81 = 0 \)

dengan \(a\) bilangan real, memiliki 4 akar real berbeda, yaitu \(r_1, r_2, r_3, r_4\).

Jika:

\( r_1 \times r_2 \times r_3 \times r_4 = \left(\dfrac{r_1 + r_2 + r_3 + r_4}{4}\right)^{\!4} \)

maka nilai dari \(a\) adalah ....

A

\(-12\)

B

\(-8\)

C

\(3\)

D

\(12\)

✓ Jawaban

💡

Alternatif Penyelesaian

1

Gunakan Teorema Vieta

Teorema Vieta menghubungkan koefisien suatu persamaan polinom dengan akar-akarnya. Untuk persamaan berderajat 4 berbentuk \(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), berlaku:

🔑 Rumus Vieta yang Dipakai Berdasarkan Persamaan pada Soal

Rumus Vieta	Keterangan	Nilai dari Soal
\(r_1+r_2+r_3+r_4\)	Jumlah keempat akar	\(= -a\)
\(r_1\times r_2\times r_3\times r_4\)	Hasil kali keempat akar	\(= \dfrac{81}{1} = 81\)

Hasil kali akar diperoleh dari: \(\dfrac{\text{konstanta}}{\text{koefisien } x^4} = \dfrac{81}{1} = 81\).

2

Substitusi Nilai ke Kondisi Soal

Kondisi yang diberikan soal adalah:

\( r_1 \times r_2 \times r_3 \times r_4 = \left(\dfrac{r_1 + r_2 + r_3 + r_4}{4}\right)^{\!4} \)

Masukkan nilai hasil kali akar \(= 81\) dan jumlah akar \(= -a\):

\( 81 = \left(\dfrac{-a}{4}\right)^{\!4} \)

3

Selesaikan Persamaan

Perhatikan bahwa \(81 = 3^4\), sehingga persamaan menjadi:

\( \left(\dfrac{-a}{4}\right)^{\!4} = 3^4 \)

Ambil akar pangkat 4 dari kedua ruas:

\( \dfrac{-a}{4} = \pm\,3 \)

Kasus 1: \(\dfrac{-a}{4} = 3\)

\(-a = 12\)
\(a = -12\)

Kasus 2: \(\dfrac{-a}{4} = -3\)

\(-a = -12\)
\(a = 12\)

4

Cek Syarat: 4 Akar Real Berbeda

Soal mensyaratkan keempat akar harus berbeda. Kita perlu memeriksa kedua kemungkinan nilai \(a\).

🔍

Uji \(a = -12\):   Persamaan menjadi \(x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81 = 0\), yang merupakan bentuk \((x-3)^4 = 0\). Keempat akarnya sama, yaitu \(x = 3\). Ini tidak memenuhi syarat 4 akar yang berbeda. ✗

✅

Uji \(a = 12\):   Persamaan menjadi \(x^4 + 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81 = 0\). Persamaan ini memiliki 4 akar real yang berbeda, sehingga memenuhi syarat soal. ✓

Jawaban Akhir

\(a = 12\)

Pilihan D

OSK SMP MTs 2024  ·  Matematika  ·  Persamaan Polinom & Teorema Vieta