SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) TINGKAT NASIONAL DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART B)

Jumlah semua digit pada bilangan 3 digit adalah s dengan s adalah nomor urut surah al-Kahfi dalam al-Quran. Digit puluhan sama dengan digit satuan ditambah 1. Bilangan baru dibentuk melalui penukaran digit ratusan dengan digit satuan pada bilangan awal sehingga selisih antara bilangan baru dan bilangan awal adalah 198. Bilangan awal tersebut adalah ....

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Surah Al-Kahfi adalah surah ke-18 dalam Al-Quran, sehingga:

s = 18

Jumlah semua digit pada bilangan 3 digit = 18.

Misal bilangan awal = 100a + 10b + c, dengan a, b, c digit, a ≠ 0.

Diketahui:

1. a + b + c = 18

2. b = c + 1 (digit puluhan = digit satuan + 1)

3. Bilangan baru = 100c + 10b + a

4. Selisih:

Kemungkinan 1: (bilangan baru) − (bilangan awal) = 198

Kemungkinan 2: (bilangan awal) − (bilangan baru) = 198

Kemungkinan 1:

(bilangan baru) − (bilangan awal) = 198

⇔ (100c + 10b + a) − (100a + 10b + c) = 198

⇔ 100c + 10b + a − 100a − 10b − c = 198

⇔ 100c − c + 10b − 10b + a − 100a = 198

⇔ 99c − 99a = 198

⇔ 99(c − a) = 198

⇔ 99(c − a) : 99 = 198 : 99

⇔ c − a = 2

⇔ c − a + a = 2 + a

⇔ c = a + 2

Dari b = c + 1 dan c = a + 2, diperoleh:

b = (a + 2) + 1

⇔ b = a + 2 + 1

⇔ b = a + 3

Jumlah digit:

a + b + c = 18

⇔ a + (a + 3) + (a + 2) = 18

⇔ a + a + 3 + a + 2 = 18

⇔ a + a + a + 3 + 2 = 18

⇔ 3a + 5 = 18

⇔ 3a + 5 − 5 = 18 − 5

⇔ 3a = 13

⇔ 3a : 3 = 13 : 3

⇔ a = 13 : 3 (Tidak memenuhi, karena bukan bilangan bulat).

Kemungkinan 2:

(bilangan awal) − (bilangan baru) = 198

⇔ (100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = 198

⇔ 100a + 10b + c − 100c − 10b − c = 198

⇔ 100a − a + 10b − 10b + c − 100c = 198

⇔ 99a − 99c = 198

⇔ 99(a − c) = 198

⇔ 99(a − c) : 99 = 198 : 99

⇔ a − c = 2

⇔ a − c + c = 2 + c

⇔ a = c + 2

⇔ c + 2 = a

⇔ c + 2 − 2 = a − 2

⇔ c = a − 2

Dari b = c + 1 dan c = a − 2, diperoleh:

b = (a − 2) + 1

⇔ b = a − 2 + 1

⇔ b = a − 1

Jumlah digit:

a + b + c = 18

⇔ a + (a − 1) + (a − 2) = 18

⇔ a + a − 1 + a − 2 = 18

⇔ a + a + a − 1 − 2 = 18

⇔ 3a − 3 = 18

⇔ 3a − 3 + 3 = 18 + 3

⇔ 3a = 21

⇔ 3a : 3 = 21 : 3

⇔ a = 7 (Memenuhi, karena bilangan bulat).

b = a − 1

⇔ b = 7 − 1

⇔ b = 6

c = a − 2

⇔ c = 7 − 2

⇔ c = 5

Jadi, bilangan awal adalah 765.