SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) TINGKAT NASIONAL DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART E)

Dalam suatu perlombaan Peringatan Hari Besar Islam (PHBI), nilai 100, 75, 50, dan 25 akan diberikan pada empat santri yang meraih juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Ada empat jenis lomba PHBI, yaitu qiroatul kutub, khitobah, Musabaqah Tilawatil Qur'an (MTQ), dan Musabaqah Hifdzil Qur'an (MHQ). Masing-masing santri mengikuti empat jenis perlombaan. Hasil akhir adalah jumlah dari setiap nilai yang diperoleh dari setiap kegiatan lomba.

Santri ketiga dan keempat memiliki total nilai yang sama.

Santri keempat memenangkan lomba MTQ.

Total nilai yang diperoleh santri pertama dan santri kedua sama-sama bilangan genap.

Santri pertama adalah pemenang pertama di lomba qiroatul kutub dan khitobah.

Total nilai yang didapatkan oleh santri keempat adalah bilangan ganjil.

Total nilai santri kedua adalah ....

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misalkan:

Qiroatul kutub = Q

Khitobah = K

MTQ = T

MHQ = H

Berdasarkan beberapa ketentuan yang terdapat pada soal tersebut, bisa dibuat tabel sebagai berikut.

Diketahui:

N3 = N4

N1 dan N2 adalah bilangan genap.

Jika N4 adalah bilangan ganjil, maka N3 juga bilangan ganjil.

Ditanya:

N2 = ...?

Jawab:

1. Memahami tabel dan keterangan

Tabel berisi baris 4 santri, dengan 4 jenis nilai: Q, K, T, H, dan TOTAL.

Setiap kolom Q, K, T, H berisi bilangan-bilangan 25, 50, 75, dan 100 (masing-masing sekali per kolom).

Jumlah per kolom = 250.

Total semua nilai (Total Santri 1 + 2 + 3 + 4) = 1000.

2. Informasi yang sudah diketahui dari tabel

Kolom Q:

100 + Q2 + Q3 + Q4 = 250

⇔ 100 − 100 + Q2 + Q3 + Q4 = 250 − 100

⇔ Q2 + Q3 + Q4 = 150

Kolom K:

100 + K2 + K3 + K4 = 250

⇔ 100 − 100 + K2 + K3 + K4 = 250 − 100

⇔ K2 + K3 + K4 = 150

Kolom T:

T1 + T2 + T3 + 100 = 250

⇔ T1 + T2 + T3 + 100 − 100 = 250 − 100

⇔ T1 + T2 + T3 = 150

Kolom H:

H1 + H2 + H3 + H4 = 250

3. Bilangan yang tersedia per kolom

Setiap kolom berisi {25, 50, 75, 100} dalam urutan acak.

Kolom Q: Sudah ada 100 di Santri 1, jadi sisa {25, 50, 75} untuk Q2, Q3, Q4.

Q2 + Q3 + Q4 = 150

Q2, Q3, Q4 adalah 25, 50, 75 dalam urutan belum diketahui.

Kolom K: Sudah ada 100 di Santri 1, jadi sisa {25, 50, 75} untuk K2, K3, K4.

K2 + K3 + K4 = 150

K2, K3, K4 adalah 25, 50, 75 dalam urutan belum diketahui.

Kolom T: Sudah ada 100 di Santri 4, jadi sisa {25, 50, 75} untuk T1, T2, T3.

T1 + T2 + T3 = 150

T1, T2, T3 adalah 25, 50, 75 dalam urutan belum diketahui.

Kolom H: Semua H1, H2, H3, H4 adalah {25, 50, 75, 100} dalam urutan belum diketahui.

H1 + H2 + H3 + H4 = 250

4. Menggunakan informasi N1, N2, N3, N4

N1 = 100 + 100 + T1 + H1 = 200 + T1 + H1.

N2 = Q2 + K2 + T2 + H2.

N3 = Q3 + K3 + T3 + H3.

N4 = Q4 + K4 + 100 + H4.

Kondisi:

N1 genap → 200 + T1 + H1 genap → T1 + H1 genap.

N2 genap → Q2 + K2 + T2 + H2 genap.

N3 ganjil → Q3 + K3 + T3 + H3 ganjil.

N3 = N4 → Q3 + K3 + T3 + H3 = Q4 + K4 + 100 + H4.

5. Mencoba memanfaatkan N3 = N4

N3 = N4

→ Q3 + K3 + T3 + H3 = Q4 + K4 + 100 + H4

→ (Q3 + K3 + T3 + H3) − (Q4 + K4 + H4) = 100

Mari kita jumlahkan semua nilai santri 3 dan 4:

Santri 3 + Santri 4:

(Q3 + K3 + T3 + H3) + (Q4 + K4 + 100 + H4) = N3 + N4 = 2 × N3 (karena N3 = N4).

Jumlah total semua santri = N1 + N2 + N3 + N4 = N1 + N2 + 2 × N3 = 1000.

N1 + N2 = 1000 − 2 × N3.

N1 genap, N2 genap → N1 + N2 genap.

1000 genap, jadi 1000 − 2 × N3 genap (selalu genap sih).

6. Mencari pola dengan mencoba nilai T1, H1 untuk N1 genap

T1 + H1 genap.

T1 ∈ {25, 50, 75}, H1 ∈ {25, 50, 75, 100}.

Kombinasi T1 + H1 genap:

25 + 25 = 50 genap

25 + 50 = 75 ganjil (tidak memenuhi ketentuan)

25 + 75 = 100 genap

25 + 100 = 125 ganjil (tidak memenuhi ketentuan)

50 + 50 = 100 genap

50 + 75 = 125 ganjil (tidak memenuhi ketentuan)

50 + 100 = 150 genap

75 + 50 = 125 ganjil (tidak memenuhi ketentuan)

75 + 75 = 150 genap

75 + 100 = 175 ganjil (tidak memenuhi ketentuan)

Jadi kemungkinan (T1, H1) genap:

(25, 25), (25, 75), (50, 50), (50, 100), (75, 75).

7. Mencoba sistem lengkap

Kita punya 3 set permutasi:

{Q2, Q3, Q4} = {25, 50, 75}

{K2, K3, K4} = {25, 50, 75}

{T1, T2, T3} = {25, 50, 75}

{H1, H2, H3, H4} = {25, 50, 75, 100}

Dan N3 ganjil, N3 = N4.

Kita coba pendekatan logis:

Perhatikan Santri 1 dan Santri 4 punya nilai 100 di dua kolom berbeda.

Santri 1: Q = 100, K = 100

Santri 4: T = 100.

Mari hitung N1 dan N4:

N1 = 200 + T1 + H1

N4 = Q4 + K4 + 100 + H4.

N3 = Q3 + K3 + T3 + H3.

Kita coba tebak T1, H1 dari daftar di atas dan lihat apakah bisa N3 = N4.

Misalnya:

T1 = 25, H1 = 25 → N1 = 250 genap (ok).

T1 = 25, H1 = 75 → N1 = 300 genap (ok).

T1 = 50, H1 = 50 → N1 = 300 genap (ok).

T1 = 50, H1 = 100 → N1 =350 genap (ok).

T1 = 75, H1 = 75 → N1 = 350 genap (ok).

8. Trial dengan N3 ganjil

Kita perlu N3 ganjil → Q3 + K3 + T3 + H3 ganjil.

Coba T1 = 25, H1 = 25 → N1 =250 genap ok.

T2, T3 sisa {50, 75}.

H1 = 25 → H2, H3, H4 sisa {50, 75, 100}.

Ambil T2 = 50, T3 = 75.

Ambil H2 = 50, H3 = 100, H4 = 75

N3 = Q3 + K3 + 75 + 100 = Q3 + K3 + 175

N4 = Q4 + K4 + 100 + 75 = Q4 + K4 + 175

N3 = N4

→ Q3 + K3 + 175 = Q4 + K4 + 175

→ Q3 + K3 = Q4 + K4

Sekarang Q3 + K3 = Q4 + K4, dan {Q3, Q4} berbeda, {K3, K4} berbeda.

Coba Q3 = 25, Q4 = 75 → 25 + K3 = 75 + K4 → K3 − K4 = 50 → mungkin K3 = 75, K4 = 25.

Sehingga, Q2 = 50, K2 = 50.

Cek:

Q: 100, 50, 25, 75 = 250 ok

K: 100, 50, 75, 25 = 250 ok

T: 25, 50, 75, 100 = 250 ok

H: 25, 50, 100, 75 = 250 ok

N1 =100 + 100 + 25 + 25 = 250 genap ok

N2 = 50 + 50 + 50 + 50 = 200 genap ok

N3 = 25 + 75 + 75 + 100 = 275 ganjil ok

N4 = 75 + 25 + 100 + 75 = 275 = N3 ok

Semua ketentuan terpenuhi.

11. Tabel akhir

Jadi, total nilai santri kedua adalah 200.