SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2024 DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (TINGKAT PROVINSI PART A)

Diketahui fungsi f(x) memenuhi persamaan

(x − 1)f(x + 1) = (x + 2)f(x)

Jika f(2024)/f(2) = a, maka banyaknya faktor prima dari a adalah ....

Alternatif Penyelesaian:

Perhatikan bahwa, bentuk soal dapat kita ubah menjadi

f(x + 1)/f(x) = (x + 2)/(x − 1)

Sehingga

f(2024)/f(2) = f(2024)/f(2023) × f(2023)/f(2022) × f(2022)/f(2021) × f(2021)/f(2020) × ... × f(3)/f(2)

⇔ f(2024)/f(2) = 2025/2022 × 2024/2021 × 2023/2020 × 2022/2019 × ... × 4/1

⇔ f(2024)/f(2) = (2025 × 2024 × 2023)/(3 × 2 × 1)

⇔ f(2024)/f(2) = 675 × 1012 × 2023

⇔ f(2024)/f(2) = 675 × 1012 × 2023

⇔ f(2024)/f(2) = 3 × 225 × 2 × 506 × 7 × 289

⇔ f(2024)/f(2) = 3 × 3 × 75 × 2 × 2 × 253 × 7 × 17 × 17

⇔ f(2024)/f(2) = 3 × 3 × 3 × 25 × 2 × 2 × 11 × 23 × 7 × 17 × 17

⇔ f(2024)/f(2) = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 2 × 2 × 11 × 23 × 7 × 17 × 17

⇔ f(2024)/f(2) = 3³ × 5² × 2² × 11 × 23 × 7 × 17²

Faktor prima dari f(2024)/f(2) pada soal tersebut adalah 2, 3, 5, 7, 11, 17, dan 23.

Jadi, banyak faktor prima dari f(2024)/f(2) pada soal tersebut adalah 7.