SOAL OSN TINGKAT PROVINSI 2025 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 3)

Membongkar Ukuran Sudut ∠ABC pada Soal OSP SMA MA 2025 Nomor 3

Satu sudut kecil, 54°, ternyata cukup untuk membongkar seluruh rahasia sebuah segitiga lancip. Soal isian singkat nomor 3 pada Olimpiade Sains Provinsi (OSP) Matematika SMA MA tahun 2025 ini terlihat menakutkan sekali baca karena memuat tiga titik bantu (P, Q, R) dan sebuah segiempat talibusur sekaligus. Namun, begitu kita sadari bahwa soal ini sebenarnya adalah rantai tiga segitiga sama kaki yang saling menyambung, semuanya runtuh menjadi aljabar sudut yang sangat sederhana. Mari kita bedah bersama.

Soal

Diberikan segitiga lancip ABC dengan titik P dan Q pada sisi BC, titik R pada sisi AB sehingga
|PB| = |PQ| = |PR| dan |QC| = |QR|.
Diketahui bahwa ACPR merupakan segiempat talibusur.

Jika ∠APR = 54°, maka ∠ABC = …

Catatan: notasi |XY| menyatakan panjang ruas garis XY.

Alternatif Penyelesaian

Sebagai murid, langkah pertama yang paling penting bukan menghafal rumus, tapi menggambar dengan benar. Urutan titik pada sisi BC adalah B – P – Q – C, dan titik R ada di sisi AB. Karena |PB| = |PQ| = |PR|, titik B, Q, R semuanya berjarak sama dari P — artinya ketiganya terletak pada satu lingkaran berpusat di P. Fakta ini yang membuat tiga segitiga sama kaki BPR, PQR, dan CQR saling terhubung.

Langkah 1 — Misalkan satu variabel di ujung rantai Perhatikan segitiga QRC. Karena |QC| = |QR|, segitiga ini sama kaki dengan sudut alas sama besar. Misalkan ∠QCR = ∠QRC = x. Sehingga, ∠RQC = 180° − 2x.

Kenapa mulai dari sini? Karena QRC adalah segitiga "paling ujung" dalam rantai — hanya bergantung pada satu variabel baru, sehingga paling aman dijadikan titik awal.

Langkah 2 — Geser ke segitiga PQR lewat sudut berpelurus Titik P, Q, C segaris, sehingga ∠PQR dan ∠RQC saling berpelurus (jumlahnya 180°): ∠PQR = 180° − ∠RQC = 180° − (180° − 2x) = 2x. Karena |PQ| = |PR|, segitiga PQR juga sama kaki, sehingga ∠PQR = ∠PRQ = 2x. Jumlah sudut segitiga PQR: ∠RPQ = 180° − 4x.

Langkah 3 — Geser lagi ke segitiga BPR Titik B, P, Q segaris, sehingga ∠BPR dan ∠RPQ saling berpelurus: ∠BPR = 180° − ∠RPQ = 180° − (180° − 4x) = 4x. Karena |PB| = |PR|, segitiga BPR sama kaki, sehingga ∠PBR = ∠PRB = (180° − 4x) : 2 = 90° − 2x. Perhatikan bahwa R ada di sisi AB, jadi ∠PBR sebenarnya adalah ∠ABC itu sendiri — inilah target yang kita cari!

Sampai di sini, sudut yang kita cari sudah punya bentuk ∠ABC = 90° − 2x. Tinggal satu hal: mencari nilai x. Di sinilah syarat ACPR segiempat talibusur dan ∠APR = 54° akhirnya dipakai.

Langkah 4 — Memanfaatkan segiempat talibusur ACPR Karena ACPR segiempat talibusur, sudut ∠ACR dan ∠APR sama-sama menghadap busur AR yang sama, sehingga keduanya sama besar: ∠ACR = ∠APR = 54°. Sudut ACB (sudut segitiga di titik C) terbagi menjadi dua bagian oleh garis CR, yaitu ∠ACR dan ∠RCQ (ingat, ∠RCQ = ∠QCR = x dari Langkah 1). Jadi: ∠ACB = ∠ACR + ∠QCR = 54° + x.

Langkah 5 — Menutup rantai dengan jumlah sudut segitiga ABC Sekarang ketiga sudut segitiga ABC sudah dinyatakan dalam x: ∠ABC = 90° − 2x  (Langkah 3) ∠BAC = 4x          (karena ∠BAC berhadapan dengan ∠RPC dalam segiempat tali busur ACPR, sehingga ∠BAC = 180° − (180° − 4x) = 4x) ∠ACB = 54° + x  (Langkah 4) Jumlah ketiganya harus 180°: (90° − 2x) + 4x + (54° + x) = 180° 90° − 2x + 4x + 54° + x = 180° 144° + 3x = 180° 144° − 144° + 3x = 180° − 144° 3x = 180° − 144° 3x = 36° 3x : 3 = 36° : 3 x = 36° : 3 x = 12°

∠ABC = 90° − 2(12°) = 90° − 24° = 66°

Jadi, ∠ABC = 66°.

Pelajaran yang Bisa Dipetik

Soal tersebut adalah contoh sempurna dari prinsip tadabbur dalam belajar matematika — mengamati keseluruhan sebelum bergegas menghitung. Tiga syarat panjang sisi yang sama (|PB|=|PQ|=|PR| dan |QC|=|QR|) sebenarnya hanyalah cara soal "menyembunyikan" tiga segitiga sama kaki yang berbaris rapi di sepanjang BC. Begitu kita kaitkan satu variabel x di ujung rantai dan menjalarkannya lewat sudut-sudut berpelurus, seluruh sistem menjadi satu persamaan linear sederhana. Sikap tenang dan sabar (bagian dari qana'ah dalam proses belajar) jauh lebih menentukan hasil dibanding kecepatan mencoret-coret rumus.

Ingin berlatih soal-soal geometri OSP/OSN tingkat SMA/MA lainnya dengan alternatif penyelesaian langkah demi langkah seperti ini? Kunjungi terus miftahmath.com