SOAL OSN TINGKAT PROVINSI 2025 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART 4)

📍 SOAL 1

Dalam rangka menyambut hari kemerdekaan, sebuah taman berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang setiap sisinya 4√3 meter akan dihiasi dengan 4 lampu dan tali hias. Satu lampu utama akan dipasang tepat di pusat taman sehingga jarak lampu ke ketiga titik sudut taman sama. Sementara, tiga lampu lainnya akan dipasang di tengah setiap sisi taman dengan ketinggian sama dengan lampu utama. Setiap lampu akan dihubungkan dengan lampu lainnya menggunakan tali hias.

Jika tali hias hanya dijual dalam kelipatan 1 meter, maka panjang minimum tali hias yang harus dibeli adalah ... meter

✏️ Alternatif Penyelesaian

Hai, aku coba bantu selesaikan soal ini langkah demi langkah, ya!

Langkah 1 — Memahami posisi lampu dan tali hias.
Ada 4 lampu: 1 lampu utama di pusat (titik berat) taman, dan 3 lampu di tengah-tengah setiap sisi. Karena "setiap lampu dihubungkan dengan lampu lainnya", maka tali hias yang dibutuhkan ada 6 buah, yaitu:

• 3 tali dari lampu utama ke masing-masing lampu tengah sisi.
• 3 tali yang menghubungkan antar-lampu tengah sisi (membentuk segitiga kecil).

Langkah 2 — Menghitung tinggi segitiga taman.
Untuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi s, tinggi segitiga t = (s√3)/2.
Dengan s = 4√3, maka:
t = (4√3 × √3) / 2 = (4 × 3) / 2 = 12/2 = 6 meter.

Langkah 3 — Menghitung jarak lampu utama ke lampu tengah sisi.
Titik berat (pusat) segitiga membagi garis tinggi dengan perbandingan 2:1 dari titik sudut. Artinya, jarak dari titik berat ke tengah sisi (bukan ke titik sudut) hanya 1/3 dari tinggi segitiga.
Jarak = 1/3 × 6 = 2 meter.
Karena ada 3 tali seperti ini, totalnya = 3 × 2 = 6 meter.

Langkah 4 — Menghitung panjang tali antar-lampu tengah sisi.
Tiga lampu di tengah sisi, jika dihubungkan satu sama lain, akan membentuk segitiga kecil. Berdasarkan teorema garis tengah segitiga, panjang segmen yang menghubungkan dua titik tengah sisi sama dengan setengah panjang sisi ketiga.
Jadi, setiap sisi segitiga kecil = 1/2 × s = 1/2 × 4√3 = 2√3 meter.
Karena ada 3 sisi seperti ini, totalnya = 3 × 2√3 = 6√3 meter.

Langkah 5 — Menjumlahkan seluruh panjang tali hias.
Total = 6 + 6√3 = 6 + 6(1,732...) ≈ 6 + 10,392 = 16,392 meter.

Langkah 6 — Membulatkan ke kelipatan 1 meter.
Karena tali hias hanya dijual dalam kelipatan 1 meter dan panjang tali yang dibutuhkan (16,392 m) tidak bisa dipenuhi dengan membeli 16 meter saja (kurang), maka harus dibulatkan ke atas menjadi 17 meter.

✅ Jawaban: 17 meter

📍 SOAL 2 — Teori Bilangan: FPB dan KPK

Misalkan FPB dari bilangan bulat positif a dan b adalah p, serta KPK dari a dan b adalah q.

Jika p + q = 2025 dan c = (a + b)/p, maka nilai c terkecil yang mungkin adalah ....

✏️ Alternatif Penyelesaian

Langkah 1 — Menyatakan a dan b dalam bentuk FPB-nya.
Karena FPB(a, b) = p, maka a dan b bisa ditulis sebagai a = p × m dan b = p × n, dengan m dan n saling relatif prima (FPB(m, n) = 1).

Langkah 2 — Menghubungkan KPK dengan m dan n.
Rumus umum menyatakan KPK(a, b) = (a × b) / FPB(a, b). Sehingga,
q = (p·m × p·n) / p = p × m × n.

Langkah 3 — Substitusi ke p + q = 2025.
p + (p × m × n) = 2025
p × (1 + mn) = 2025.

Langkah 4 — Menyederhanakan bentuk c.
c = (a + b) / p = (p·m + p·n) / p = m + n.
Jadi, soal ini sebenarnya meminta kita mencari nilai minimum dari m + n.

Langkah 5 — Mencari p yang tepat.
Karena p × (1 + mn) = 2025, maka p harus merupakan faktor (pembagi) dari 2025. Ingat, 2025 = 3⁴ × 5².
Supaya m + n bernilai kecil, sebaiknya (1 + mn) juga kecil, artinya kita coba p sebesar mungkin.
p tidak boleh sama dengan 2025 sendiri (karena itu membuat mn = 0, padahal m dan n harus bilangan asli). Faktor terbesar berikutnya dari 2025 adalah p = 675 (karena 2025 : 3 = 675).

Langkah 6 — Menghitung m dan n untuk p = 675.
1 + mn = 2025 / 675 = 3, sehingga mn = 2.
Pasangan m, n asli dengan hasil kali 2 dan saling relatif prima adalah m = 1, n = 2 (FPB(1,2) = 1, memenuhi syarat).
Sehigga, c = m + n = 1 + 2 = 3.

Langkah 7 — Membuktikan hasilnya benar.
a = 675 × 1 = 675, b = 675 × 2 = 1350.
FPB(675, 1350) = 675 ✓ (karena 1350 = 2 × 675)
KPK(675, 1350) = 1350 ✓
p + q = 675 + 1350 = 2025 ✓
c = (675 + 1350) / 675 = 2025 / 675 = 3 ✓

Langkah 8 — Memastikan tidak ada nilai c yang lebih kecil.
Nilai m + n paling kecil yang mungkin secara teori adalah 2 (jika m = n = 1). Tetapi ini membutuhkan mn = 1, yang berarti 1 + mn = 2, sehingga p = 2025/2 = 1012,5 — bukan bilangan bulat. Karena p harus bilangan bulat pembagi 2025, maka c = 2 tidak mungkin tercapai. Jadi, nilai terkecil yang benar-benar bisa dicapai adalah c = 3.

✅ Jawaban: c terkecil = 3