SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMA MA DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 6)

OSK SMA MA 2024  ·  Matematika

Barisan Geometri

Soal

Misalkan \(u_1, u_2, u_3, \ldots\) suatu barisan geometri dengan \(u_1 > u_2\).

Jika \(u_2 = 8\) dan \(u_5 + u_7 = \dfrac{10u_6}{3}\), maka \(u_1 =\) ....

---

Alternatif Penyelesaian

Konsep Dasar

Dalam barisan geometri, suku ke-\(n\) dinyatakan dengan rumus:

\[ u_n = u_1 \cdot r^{\,n-1} \]

dengan \(u_1\) adalah suku pertama dan \(r\) adalah rasio (perbandingan antarsuku yang berurutan).

1

Nyatakan Setiap Suku dalam \(u_1\) dan \(r\)

Dengan menggunakan rumus umum barisan geometri, kita tuliskan tiap suku yang diperlukan:

\[ u_2 = u_1 \cdot r = 8 \quad \cdots (1) \]

\[ u_5 = u_1 r^4, \qquad u_6 = u_1 r^5, \qquad u_7 = u_1 r^6 \]

2

Gunakan Syarat \(u_5 + u_7 = \dfrac{10u_6}{3}\)

Substitusikan bentuk setiap suku ke dalam persamaan yang diberikan:

\[ u_1 r^4 + u_1 r^6 = \frac{10 \cdot u_1 r^5}{3} \]

Karena \(u_1 \neq 0\) dan \(r \neq 0\), bagi kedua ruas dengan \(u_1 r^4\):

\[ 1 + r^2 = \frac{10r}{3} \]

Kalikan kedua ruas dengan \(3\) agar tidak ada pecahan:

\[ 3 + 3r^2 = 10r \]

\[ 3r^2 - 10r + 3 = 0 \]

3

Selesaikan Persamaan Kuadrat

Faktorkan persamaan \(3r^2 - 10r + 3 = 0\):

\[ (3r - 1)(r - 3) = 0 \]

Diperoleh dua kemungkinan nilai \(r\):

\[ r = \frac{1}{3} \qquad \text{atau} \qquad r = 3 \]

4

Pilih Nilai \(r\) yang Memenuhi Syarat \(u_1 > u_2\)

Syarat \(u_1 > u_2\) berarti barisan bersifat menurun (suku pertama lebih besar dari suku kedua). Agar barisan geometri menurun dengan suku-suku positif, diperlukan \(0 < r < 1\).

\[ \boxed{r = \frac{1}{3}} \]

Jika \(r = 3\), maka \(u_2 = 3u_1 > u_1\), sehingga \(u_1 < u_2\). Hal ini bertentangan dengan syarat soal, sehingga \(r = 3\) tidak memenuhi.

5

Hitung Nilai \(u_1\)

Substitusikan \(r = \dfrac{1}{3}\) ke persamaan \((1)\):

\[ u_1 \cdot \frac{1}{3} = 8 \]

\[ u_1 = 8 \times 3 = 24 \]

✅ Kesimpulan

\(u_1 = 24\)

dengan rasio \(r = \tfrac{1}{3}\) dan \(u_2 = 8\)

OSK SMA MA 2024 · Matematika · Barisan Geometri