SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART J)

Sebuah trapesium sama kaki mempunyai ukuran panjang sisi sejajar 10 satuan panjang dan 34 satuan panjang.

Jika luas dan ukuran keliling trapesium tersebut adalah bilangan bulat, maka luas maksimum yang mungkin (trapesium) tersebut adalah ... satuan luas.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misalkan trapesium sama kaki dengan ukuran panjang sisi sejajar a = 10 dan b = 34, tinggi t, dan kaki sama panjang s.

• Pada trapesium sama kaki, proyeksi mendatar tiap kaki adalah setengah selisih sisi sejajar:

d = (b – a) : 2

⇔ d = (34 – 10) : 2

⇔ d = 24 : 2

⇔ d = 12

• Segitiga siku-siku dari tinggi dan proyeksi memberi

s² = t² + d²

⇔ s² = t² + 12²

⇔ s² = t² + 144

• Keliling

K = a + b + s + s

⇔ K = a + b + 2s

⇔ K = 10 + 34 + 2s

⇔ K = 44 + 2s

Jika K bilangan bulat, maka s harus bilangan bulat.

• Luas

L = (a + b) : 2 × t

⇔ L = (10 + 34) : 2 × t

⇔ L = 44 : 2 × t

⇔ L = 22 × t

⇔ L = 22t

Luas otomatis bilangan bulat bila t bilangan bulat.

Permasalahan menjadi:

Carilah semua tripel Pythagoras dengan sisi-sisi (12, t, s), kemudian pilih t terbesar (sebab L = 22t).

Tripel dengan salah satu sisi siku-siku 12 yang mungkin:

(5, 12, 13), (12, 16, 20), (12, 35, 37)

Sehingga,

t ∈ {5, 16, 35}

dan maksimum t = 35

Akibatnya,

Luas maksimum = 22⋅35

⇔ Luas maksimum = 770

Jadi, luas maksimum yang mungkin (trapesium) tersebut adalah 770 satuan luas.