SOAL LATIHAN OLIMPIADE MADRASAH INDONESIA (OMI) TINGKAT PROVINSI DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART A)

Diketahui sistem persamaan

px − 4y = 16

3x + 4y = 6

memiliki selesaian bilangan bulat x dan y dengan p bilangan bulat.

Nilai terbesar dari x + y + p adalah ....

(Pilihan Ganda)

A. 3

B. 10

C. 15

D. 20

ALTERNATIF PENYELESAIAN

px − 4y = 16 (persamaan 1)

3x + 4y = 6 (persamaan 2)

Jika dua persamaan tersebut dijumlahkan, maka hasilnya menjadi

px − 4y + 3x + 4y = 16 + 6

⇔ px + 3x − 4y + 4y = 16 + 6

⇔ (p + 3)x = 22

Kemungkinan-kemungkinan perkalian dua bilangan bulat yang hasilnya 22 adalah

1 × 22, 2 × 11, -1 × (-22), dan -2 × (-11)

Berdasarkan persamaan 2, diperoleh

3x + 4y = 6

⇔ 3x − 3x + 4y = 6 − 3x

⇔ 4y = 6 − 3x

⇔ 4y : 4 = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3x) : 4

Berdasarkan kemungkinan-kemungkinan perkalian dua bilangan bulat yang hasilnya 22, kemungkinan-kemungkinan nilai p, x, dan y sebagai berikut.

Kemungkinan 1

Jika p + 3 = 1, maka nilai p adalah

⇔ p + 3 = 22

⇔ p + 3 − 3 = 1 − 3

⇔ p = -2

Nilai x = 22

Nilai y adalah

y = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3(22)) : 4

⇔ y = (6 − 66) : 4

⇔ y = -60 : 4

⇔ y = -15

Nilai dari x + y + p adalah

x + y + p

= 22 + (-15) + (-2)

= 22 − 15 − 2

= 7 − 2

= 5

Kemungkinan 2

Jika p + 3 = 22, maka nilai p adalah

⇔ p + 3 = 22

⇔ p + 3 − 3 = 22 − 3

⇔ p = 19

Nilai x = 1

Nilai y adalah

y = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3(1)) : 4

⇔ y = (6 − 3) : 4

⇔ y = 3 : 4 (bukan bilangan bulat, tidak memenuhi syarat)

Kemungkinan 3

Jika p + 3 = 2, maka nilai p adalah

⇔ p + 3 = 2

⇔ p + 3 − 3 = 2 − 3

⇔ p = -1

Nilai x = 11

Nilai y adalah

y = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3(11)) : 4

⇔ y = (6 − 33) : 4

⇔ y = -27 : 4 (bukan bilangan bulat, tidak memenuhi syarat)

Kemungkinan 4

Jika p + 3 = 11, maka nilai p adalah

⇔ p + 3 = 11

⇔ p + 3 − 3 = 11 − 3

⇔ p = 8

Nilai x = 2

Nilai y adalah

y = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3(2)) : 4

⇔ y = (6 − 6) : 4

⇔ y = 0 : 4

⇔ y = 0

Nilai dari x + y + p adalah

x + y + p

= 2 + 0 + 8

= 2 + 8

= 10

Kemungkinan 5

Jika p + 3 = -1, maka nilai p adalah

⇔ p + 3 = -1

⇔ p + 3 − 3 = -1 − 3

⇔ p = -4

Nilai x = -22

Nilai y adalah

y = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3(-22)) : 4

⇔ y = (6 + 66) : 4

⇔ y = 72 : 4

⇔ y = 18

Nilai dari x + y + p adalah

x + y + p

= -22 + 18 + (-4)

= -22 + 18 − 4

= -4 − 4

= -8

Kemungkinan 6

Jika p + 3 = -22, maka nilai p adalah

⇔ p + 3 = -22

⇔ p + 3 − 3 = -22 − 3

⇔ p = -25

Nilai x = -1

Nilai y adalah

y = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3(-1)) : 4

⇔ y = (6 + 3) : 4

⇔ y = 9 : 4 (bukan bilangan bulat, tidak memenuhi syarat)

Kemungkinan 7

Jika p + 3 = -2, maka nilai p adalah

⇔ p + 3 = -2

⇔ p + 3 − 3 = -2 − 3

⇔ p = -5

Nilai x = -11

Nilai y adalah

y = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3(-11)) : 4

⇔ y = (6 + 33) : 4

⇔ y = 39 : 4 (bukan bilangan bulat, tidak memenuhi syarat)

Kemungkinan 8

Jika p + 3 = -11, maka nilai p adalah

⇔ p + 3 = -11

⇔ p + 3 − 3 = -11 − 3

⇔ p = -14

Nilai x = -2

Nilai y adalah

y = (6 − 3x) : 4

⇔ y = (6 − 3(-2)) : 4

⇔ y = (6 + 6) : 4

⇔ y = 12 : 4

⇔ y = 3

Nilai dari x + y + p adalah

x + y + p

= -2 + 3 + (-14)

= -2 + 3 − 14

= 1 − 14

= -13

Jadi, nilai terbesar dari x + y + p adalah 10.

(Pilihan jawaban B benar)