SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2024 DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (TINGKAT PROVINSI PART C)

Diketahui untuk setiap nilai a dan b, fungsi f dan g memenuhi sistem persamaan berikut.

2f(a) + 3g(b) = 6

3f(b) + 2g(a) = 7

f(a)² + g(a)² = 1

f(a + b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

Nilai dari f(a + b) = ... ?

Alternatif Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

[2f(a) + 3g(b)]² = 6²

⇔ 4f(a)² + 12f(a)g(b) + 9g(b)² = 36 (Persamaan 1)

[3f(b) + 2g(a)]² = 7²

⇔ 9f(b)² + 12f(b)g(a) + 4g(a)² = 49 (Persamaan 2)

Tambahkan (Persamaan 1) dan (Persamaan 2) sehingga diperoleh

4f(a)² + 12f(a)g(b) + 9g(b)² + 9f(b)² + 12f(b)g(a) + 4g(a)² = 36 + 49

⇔ 4f(a)² + 4g(a)² + 9g(b)² + 9f(b)² + 12f(a)g(b) + 12f(b)g(a) = 85

⇔ 4[f(a)² + g(a)²] + 9[g(b)² + f(b)²] + 12[f(a)g(b) + f(b)g(a)] = 85

⇔ 4(1) + 9[f(b)² + g(b)²] + 12f(a + b) = 85

⇔ 4 + 9(1) + 12f(a + b) = 85

⇔ 4 + 9 + 12f(a + b) = 85

⇔ 13 + 12f(a + b) = 85

⇔ 13 − 13 + 12f(a + b) = 85 − 13

⇔ 12f(a + b) = 72

⇔ 12f(a + b) : 12 = 72 : 12

⇔ f(a + b) = 6

Jadi, Nilai dari f(a + b) = 6.