SOAL OSN TINGKAT KOTA 2024 BIDANG MATEMATIKA SMP MTs DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (NOMOR 15)

Soal Olimpiade Matematika SMP/MTs

Diketahui segitiga sama kaki $ABC$ dengan $AB = BC = 8\text{ cm}$ dan $\angle ABC = 120^\circ$. Titik tengah $AB$ dan $BC$ masing-masing adalah $D$ dan $E$. Garis $DF$ tegak lurus $AB$ dan $EF$ tegak lurus $BC$.

Luas daerah yang diarsir adalah ... $\text{cm}^2$.

A. $\frac{8}{3}\sqrt{3}$

B. $\frac{16}{3}\sqrt{3}$

C. $8\sqrt{3}$

D. $16\sqrt{3}$

Alternatif Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal geometri tersebut, kita dapat menggunakan konsep yang sangat dekat dengan kurikulum matematika jenjang Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah (SMP/MTs), yaitu Perbandingan Sisi Segitiga Siku-Siku dengan Sudut Istimewa ($30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$). Pendekatan ini dirancang agar mudah dipahami secara logis oleh para murid.

Langkah 1: Analisis Sudut Segitiga $ABC$
Karena $\triangle ABC$ adalah segitiga sama kaki dengan $AB = BC = 8\text{ cm}$ dan sudut puncak $\angle ABC = 120^\circ$, sehingga ukuran dua sudut alasnya adalah sama besar, yaitu:

$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$

Langkah 2: Menentukan Panjang Sisi Dasar
Diketahui titik $D$ merupakan titik tengah dari garis $AB$, sehingga kita peroleh panjang:

$AD = DB = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$

Misalkan titik potong antara garis $DF$ dengan $AC$ dinamakan titik $P$, dan titik potong antara garis $EF$ dengan $AC$ dinamakan titik $Q$. Dengan demikian, daerah yang diarsir membentuk sebuah segitiga baru yaitu $\triangle FPQ$.

Langkah 3: Menghitung Sisi Segitiga Siku-Siku $\triangle ADP$
Perhatikan $\triangle ADP$ yang siku-siku di titik $D$ (karena garis $DF \perp AB$). Ukuran sudut-sudutnya adalah $\angle D = 90^\circ$ dan $\angle A = 30^\circ$, sehingga sudut sisanya adalah $\angle APD = 60^\circ$.
Berdasarkan perbandingan panjang sisi segitiga istimewa $30^\circ-60^\circ-90^\circ$, diperoleh perbandingan sisi $1 : \sqrt{3} : 2$. Sisi $AD$ berada di depan sudut $60^\circ$ dan sisi $PD$ berada di depan sudut $30^\circ$, sehingga:

$\frac{PD}{AD} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies PD = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{3}\text{ cm}$

Langkah 4: Menghitung Ukuran Panjang Garis Utuh $FD$
Jika kita menarik garis diagonal simetri dari titik $F$ ke titik $B$, garis tersebut akan membagi sudut puncak $\angle ABC$ menjadi dua bagian yang sama besar, yaitu $\angle FBD = 60^\circ$.
Sekarang perhatikan segitiga siku-siku $\triangle FDB$. Sisi $DB = 4\text{ cm}$ berada di depan sudut $30^\circ$, sedangkan sisi $FD$ berada di depan sudut $60^\circ$. Menggunakan perbandingan segitiga istimewa yang sama, kita dapatkan langsung:

$FD = DB \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$

Langkah 5: Menemukan Ukuran Panjang Sisi Segitiga Arsiran ($FP$)
Sisi $FP$ merupakan tinggi atau sisi miring dari struktur segitiga yang diarsir. Panjangnya dapat dihitung dengan mengurangkan garis utuh $FD$ dengan garis $PD$:

$FP = FD - PD = 4\sqrt{3} - \frac{4}{3}\sqrt{3} = \frac{12}{3}\sqrt{3} - \frac{4}{3}\sqrt{3} = \frac{8}{3}\sqrt{3}\text{ cm}$

Langkah 6: Menghitung Luas Segitiga Sama Sisi $\triangle FPQ$
Karena bangun geometri tersebut sepenuhnya simetris, sehingga ukuran sudut $\angle FPQ = \angle FQP = 60^\circ$ (bertolak belakang dengan sudut segitiga sebelumnya). Hal ini menandakan bahwa daerah yang diarsir ($\triangle FPQ$) berbentuk Segitiga Sama Sisi dengan ukuran panjang sisi $s = \frac{8}{3}\sqrt{3}\text{ cm}$.
Rumus baku untuk menghitung luas segitiga sama sisi adalah $L = \frac{1}{4}s^2\sqrt{3}$. Mari kita masukkan nilainya:

$L = \frac{1}{4} \times \left(\frac{8}{3}\sqrt{3}\right)^2 \times \sqrt{3}$

$L = \frac{1}{4} \times \left(\frac{64}{9} \times 3\right) \times \sqrt{3}$

$L = \frac{1}{4} \times \frac{64}{3} \times \sqrt{3} = \frac{16}{3}\sqrt{3}\text{ cm}^2$

Kesimpulan: Luas daerah yang diarsir adalah $\frac{16}{3}\sqrt{3}\text{ cm}^2$. Dengan demikian, pilihan jawaban yang benar adalah B.