SOAL LATIHAN KOMPETISI SAINS MADRASAH DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (PART C)

Jika bilangan bulat positif x dan y merupakan solusi sistem persamaan linier

Banyak nilai p yang memenuhi sama dengan urutan Asmaul Husna yaitu ….

ALTERNATIF PENYELESAIAN:

Langkah-langkah:

1. Selesaikan Sistem Persamaan untuk x dan y:

a. Dari persamaan pertama:

x + 2y = p + 6

⇔ x + 2y − 2y = p + 6 − 2y

⇔ x = p + 6 − 2y

b. Substitusi x ke persamaan kedua:

2x – y = 25 – 2p

⇔ 2(p + 6 − 2y) – y = 25 − 2p

⇔ 2p + 12 − 4y – y = 25 − 2p

⇔ 2p + 12 − 5y = 25 − 2p

⇔ 2p + 2p + 12 – 12 − 5y = 25 – 12 − 2p + 2p

⇔ 4p − 5y = 13 (Persamaan A)

2. Ekspresikan y dalam p:

4p − 5y = 13

⇔ 4p – 4p − 5y = 13 – 4p

⇔ −5y = 13 − 4p

⇔ −5y : (−5) = (13 − 4p) : (−5)

Karena y harus bilangan bulat positif, 4p − 13 harus habis dibagi 5.

3. Tentukan Nilai p yang Memenuhi:

a. Syarat y > 0:

⇔ 4p − 13 > 0

⇔ 4p − 13 + 13 > 0 + 13

⇔ 4p > 13

(atau p ≥ 4, p bilangan bulat)

b. Syarat 4p − 13 habis dibagi 5:

4p ≡ 13 ≡ 3 (mod 5)

p ≡ 2 (mod 5)

Jadi, p = 5k + 2 untuk k ≥ 1.

4. Hitung Nilai x dan y:

a. Substitusi p = 5k + 2 ke y:

⇔ y = 4k − 1

b. Substitusi y dan p ke x:

x = p + 6 − 2y

⇔ x = (5k + 2) + 6 − 2(4k − 1)

⇔ x = 5k + 2 + 6 − 8k + 2

⇔ x = 5k + 8 − 8k + 2

⇔ x = 5k − 8k + 8 + 2

⇔ x = −3k + 10

c. Syarat x > 0:

−3k + 10 > 0

⇔ −3k + 10 – 10 > 0 – 10

⇔ −3k > –10

(atau k ≤ 3, k bilangan bulat)

5. Tentukan Rentang k dan p:

a. k bilangan bulat positif yang memenuhi: k = 1, 2, dan 3.

b. Untuk k = 1: p = 7, y = 3, x = 7.

c. Untuk k = 2: p = 12, y = 7, x = 4.

d. Untuk k = 3: p = 17, y = 11, x = 1.

6. Verifikasi Solusi:

Pastikan semua pasangan (x, y) memenuhi sistem persamaan asli untuk p yang bersesuaian.

7. Kesimpulan:

a. Terdapat 3 nilai p yang memenuhi: p = 7, 12, 17.

b. Urutan Asmaul Husna yang ke-3 adalah Al-Malik.

Jawaban:

Al-Malik